Номер 10.14, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.2. Функции y=cosx - номер 10.14, страница 287.

Условие.

10.14° a) Является ли периодом функции $y = \cos x$ число: $0$; $\pi$; $-\pi$; $2\pi$; $-2\pi$; $3\pi$; $-3\pi$; $4\pi$; $-4\pi$?

б) Каков главный период функции $y = \cos x$?

в) Какое свойство графика функции $y = \cos x$ следует из её периодичности?

г) Как называют график функции $y = \cos x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
- Число $0$ не является периодом, так как по определению период должен быть отличен от нуля.
- Числа $\pi$ и $-\pi$ не являются периодами, так как $\cos(x \pm \pi) = -\cos x$, что не равно $\cos x$ для всех $x$.
- Числа $3\pi$ и $-3\pi$ не являются периодами, так как $\cos(x \pm 3\pi) = \cos(x \pm \pi \pm 2\pi) = \cos(x \pm \pi) = -\cos x$.
- Числа $2\pi, -2\pi, 4\pi, -4\pi$ являются периодами функции $y = \cos x$. В общем виде, любое число вида $2\pi k$, где $k$ — целое ненулевое число, является периодом для $y = \cos x$, так как выполняется тождество $\cos(x + 2\pi k) = \cos x$.
Ответ: периодами являются числа $2\pi, -2\pi, 4\pi, -4\pi$; не являются периодами числа $0, \pi, -\pi, 3\pi, -3\pi$.

б) Главным (или основным) периодом функции называется её наименьший положительный период. Множество всех периодов функции $y = \cos x$ задается формулой $T = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$. Положительными периодами из этого множества являются $2\pi, 4\pi, 6\pi, \dots$. Наименьшим из них является $2\pi$.
Ответ: главный период функции $y = \cos x$ равен $2\pi$.

в) Периодичность функции означает, что её график состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых частей. Для функции $y = \cos x$ с главным периодом $T = 2\pi$, это свойство означает, что весь её график можно получить, построив его на любом отрезке длиной $2\pi$ (например, на отрезке $[0, 2\pi]$) и затем выполняя параллельные переносы этого фрагмента вдоль оси абсцисс ($Ox$) на величины, кратные периоду, то есть на $2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: из периодичности функции $y = \cos x$ следует, что её график можно получить из его части на отрезке длиной $2\pi$ с помощью параллельных переносов вдоль оси абсцисс.

г) График тригонометрической функции $y = \cos x$ представляет собой кривую, которую называют косинусоидой.
Ответ: график функции $y = \cos x$ называют косинусоидой.