Номер 10.18, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.2. Функции y=cosx - номер 10.18, страница 287.

Условие.

10.18* ИССЛЕДУЕМ Сколько корней имеет уравнение:

a) $cos x = x^2$;

б) $cos x = -x^2$;

в) $cos x = \frac{x}{10}$;

г) $cos x = \frac{x}{100}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данных уравнений воспользуемся графическим методом. Количество корней уравнения $f(x) = g(x)$ равно количеству точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$.

а)

Рассмотрим уравнение $\cos x = x^2$. Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \cos x$ и $y_2 = x^2$.

1. График функции $y_1 = \cos x$ — это косинусоида, ограниченная по оси $y$ значениями от -1 до 1.

2. График функции $y_2 = x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх.

Поскольку значения функции $\cos x$ не превышают 1, то для существования решения необходимо, чтобы $x^2 \le 1$, то есть $-1 \le x \le 1$.

Обе функции, $y_1 = \cos x$ и $y_2 = x^2$, являются четными, что означает симметрию их графиков относительно оси $OY$. Следовательно, если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также будет корнем.

Рассмотрим промежуток $x \ge 0$.

При $x=0$: $y_1(0) = \cos 0 = 1$, а $y_2(0) = 0^2 = 0$. Графики не пересекаются в этой точке, $y_1 > y_2$.

При $x=1$: $y_1(1) = \cos 1$ (где 1 радиан ≈ 57.3°). Так как $0 < 1 < \pi/2$, то $\cos 1 > 0$. Конкретнее, $\cos 1 \approx 0.54$. $y_2(1) = 1^2 = 1$. В этой точке $y_1 < y_2$.

Рассмотрим функцию $h(x) = \cos x - x^2$. На отрезке $[0, 1]$ функция непрерывна. $h(0) = 1 > 0$ и $h(1) = \cos 1 - 1 < 0$. По теореме о промежуточных значениях, на интервале $(0, 1)$ существует как минимум один корень.

Найдем производную: $h'(x) = -\sin x - 2x$. Для $x \in (0, 1)$ оба слагаемых, $-\sin x$ и $-2x$, отрицательны. Значит, $h'(x) < 0$ на этом интервале, и функция $h(x)$ монотонно убывает. Следовательно, на интервале $(0, 1)$ существует ровно один корень.

Так как есть один положительный корень $x_0$, то в силу четности обеих функций, существует и один симметричный ему отрицательный корень $-x_0$. Всего получаем 2 корня.

Ответ: 2 корня.

б)

Рассмотрим уравнение $\cos x = -x^2$. Построим графики функций $y_1 = \cos x$ и $y_2 = -x^2$.

1. График $y_1 = \cos x$ — косинусоида.

2. График $y_2 = -x^2$ — парабола с вершиной в (0, 0), ветви которой направлены вниз.

Рассмотрим функцию $h(x) = \cos x - (-x^2) = \cos x + x^2$. Нам нужно найти количество нулей этой функции.

Найдем ее производную: $h'(x) = -\sin x + 2x$.

Чтобы определить знак $h'(x)$, рассмотрим функцию $g(x) = 2x - \sin x$. $g(0) = 0$. Ее производная $g'(x) = 2 - \cos x$. Поскольку $\cos x \le 1$, то $g'(x) = 2 - \cos x \ge 2 - 1 = 1 > 0$. Значит, функция $g(x)$ строго возрастает. Так как $g(0)=0$, то для $x>0$ имеем $g(x)>0$, а для $x<0$ имеем $g(x)<0$.

Таким образом, производная $h'(x) = 2x - \sin x$ равна нулю только при $x=0$, отрицательна при $x<0$ и положительна при $x>0$. Это означает, что в точке $x=0$ функция $h(x)$ имеет точку глобального минимума.

Найдем минимальное значение функции $h(x)$: $h(0) = \cos 0 + 0^2 = 1$.

Поскольку минимальное значение функции $h(x)$ равно 1, то $h(x) \ge 1$ для всех $x$. Это означает, что $h(x)$ никогда не обращается в ноль. Следовательно, графики функций $y_1 = \cos x$ и $y_2 = -x^2$ не пересекаются.

Ответ: 0 корней.

в)

Рассмотрим уравнение $\cos x = \frac{x}{10}$. Построим графики функций $y_1 = \cos x$ и $y_2 = \frac{x}{10}$.

1. График $y_1 = \cos x$ — косинусоида.

2. График $y_2 = \frac{x}{10}$ — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $0.1$.

Пересечения возможны только тогда, когда значения $y_2$ находятся в области значений $y_1$, то есть $-1 \le \frac{x}{10} \le 1$, что эквивалентно $-10 \le x \le 10$.

Проанализируем количество пересечений на отрезке $[-10, 10]$.

Для $x>0$: Прямая $y = x/10$ возрастает от 0 до 1. Косинусоида совершает колебания.

• На интервале $(0, \pi/2) \approx (0, 1.57)$ функция $\cos x$ убывает от 1 до 0. Прямая $y=x/10$ возрастает от 0 до $\pi/20 \approx 0.157$. Есть одно пересечение.
• На интервале $(\pi/2, 3\pi/2) \approx (1.57, 4.71)$ $\cos x < 0$, а $x/10 > 0$. Пересечений нет.
• На интервале $(3\pi/2, 5\pi/2) \approx (4.71, 7.85)$ $\cos x$ совершает полный "положительный горб" (от 0 до 1 и обратно до 0). Прямая $y=x/10$ проходит через этот интервал. В точке максимума косинуса $x=2\pi \approx 6.28$, $\cos(2\pi) = 1$. Значение прямой в этой точке $y=2\pi/10 \approx 0.628$. Так как $1 > 0.628$, прямая пересекает "горб" косинусоиды в двух точках.

Далее, до $x=10$, $\cos x$ будет отрицательным или не превысит значений прямой. Таким образом, для $x>0$ имеем $1+2=3$ корня.

Для $x<0$: Прямая $y=x/10$ убывает от 0 до -1. Пересечения возможны, когда $\cos x < 0$.

• На интервале $(-\pi, -\pi/2) \approx (-3.14, -1.57)$ $\cos x$ убывает от -1 до 0, а $y=x/10$ убывает от $-\pi/10 \approx -0.314$ до $-\pi/20 \approx -0.157$. Есть одно пересечение.
• На интервале $(-3\pi/2, -\pi) \approx (-4.71, -3.14)$ $\cos x$ возрастает от 0 до -1, а $y=x/10$ убывает от $-3\pi/20 \approx -0.471$ до $-\pi/10 \approx -0.314$. Есть одно пересечение.
• На интервале $(-5\pi/2, -3\pi) \approx (-7.85, -9.42)$ $\cos x$ убывает от 0 до -1, а $y=x/10$ от $\approx -0.785$ до $\approx -0.942$. Есть одно пересечение.
• На интервале $(-10, -3\pi) \approx (-10, -9.42)$ $\cos x$ возрастает от $\cos(-10) \approx -0.84$ до $-1$, а $y=x/10$ убывает от $-1$ до $\approx-0.942$. Есть одно пересечение.

Таким образом, для $x<0$ имеем $1+1+1+1=4$ корня. Точка $x=0$ не является корнем.

Всего корней: $3 + 4 = 7$.

Ответ: 7 корней.

г)

Рассмотрим уравнение $\cos x = \frac{x}{100}$. Аналогично предыдущему пункту, построим графики $y_1 = \cos x$ и $y_2 = \frac{x}{100}$.

Пересечения возможны только на отрезке $[-100, 100]$. Длина этого отрезка равна 200, что составляет примерно $200 / (2\pi) \approx 31.8$ периодов косинуса.

Для $x>0$: Ищем пересечения графика $y = \cos x$ с прямой $y = x/100$. Пересечения возможны, когда $\cos x > 0$. Это происходит на интервалах $(2k\pi - \pi/2, 2k\pi + \pi/2)$. В центре каждого такого интервала, при $x=2k\pi$, $\cos(2k\pi) = 1$. Прямая пересечет "горб" косинусоиды дважды, если в этой точке она будет ниже 1, т.е. $2k\pi/100 < 1$, что дает $k < 50/\pi \approx 15.9$.

• Для $k=0$ (интервал $[0, \pi/2)$), имеем одно пересечение.
• Для $k=1, 2, ..., 15$ (15 полных "положительных горбов") прямая проходит ниже вершины, давая по 2 пересечения на каждый. Итого $15 \times 2 = 30$ корней.

Всего для $x>0$ получаем $1 + 30 = 31$ корень.

Для $x<0$: Положим $x=-t$ ($t>0$). Уравнение примет вид $\cos t = -t/100$. Ищем пересечения $y=\cos t$ и $y=-t/100$ для $t \in (0, 100]$. Пересечения возможны, когда $\cos t < 0$. Это происходит на интервалах $((2k+1)\pi - \pi/2, (2k+1)\pi + \pi/2)$. В центре каждого "отрицательного горба", при $t=(2k+1)\pi$, $\cos t = -1$. Прямая пересечет его дважды, если $-((2k+1)\pi)/100 > -1$, что дает $2k+1 < 100/\pi \approx 31.83$.

• $2k < 30.83 \implies k < 15.415$.
• Следовательно, для $k=0, 1, ..., 15$ (всего 16 "отрицательных горбов") прямая проходит выше минимума косинусоиды. Каждый такой случай дает 2 пересечения.

Всего для $x<0$ получаем $16 \times 2 = 32$ корня.

Общее количество корней: $31$ (для $x>0$) + $32$ (для $x<0$) = $63$ корня.

Ответ: 63 корня.