Номер 10.24, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.3. Функция y=tgx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.24, страница 292.

10.24 Сравните:

а) $tg \frac{\pi}{7}$ и $tg \frac{\pi}{8}$;

б) $tg \left(-\frac{\pi}{7}\right)$ и $tg \left(-\frac{\pi}{8}\right)$;

в) $tg \frac{7\pi}{9}$ и $tg \frac{8\pi}{9}$;

г) $tg \frac{11\pi}{10}$ и $tg \frac{13\pi}{10}$;

д) $tg \frac{\pi}{11}$ и $tg \frac{13\pi}{12}$;

е) $tg \frac{6\pi}{7}$ и $tg \left(-\frac{\pi}{5}\right)$.

а) $\text{tg} \frac{\pi}{7}$ и $\text{tg} \frac{\pi}{8}$

Рассмотрим функцию $y = \text{tg}(x)$. Эта функция является строго возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Сначала сравним аргументы тангенсов: $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{8}$.

Поскольку $7 < 8$, то $\frac{1}{7} > \frac{1}{8}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{7} > \frac{\pi}{8}$.

Оба угла, $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{8}$, принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, на котором функция тангенса возрастает.

Так как аргумент $\frac{\pi}{7}$ больше аргумента $\frac{\pi}{8}$ и функция на этом промежутке возрастает, то и значение функции в этой точке будет больше. Таким образом, $\text{tg} \frac{\pi}{7} > \text{tg} \frac{\pi}{8}$.

Ответ: $\text{tg} \frac{\pi}{7} > \text{tg} \frac{\pi}{8}$.

б) $\text{tg} (-\frac{\pi}{7})$ и $\text{tg} (-\frac{\pi}{8})$

Функция $y = \text{tg}(x)$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Сравним аргументы тангенсов: $-\frac{\pi}{7}$ и $-\frac{\pi}{8}$.

Как мы установили в пункте а), $\frac{\pi}{7} > \frac{\pi}{8}$. При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{\pi}{7} < -\frac{\pi}{8}$.

Оба угла, $-\frac{\pi}{7}$ и $-\frac{\pi}{8}$, принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}; 0)$, который является частью интервала возрастания $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Так как $-\frac{\pi}{7} < -\frac{\pi}{8}$ и функция $\text{tg}(x)$ возрастает на этом промежутке, то $\text{tg}(-\frac{\pi}{7}) < \text{tg}(-\frac{\pi}{8})$.

Ответ: $\text{tg} (-\frac{\pi}{7}) < \text{tg} (-\frac{\pi}{8})$.

в) $\text{tg} \frac{7\pi}{9}$ и $\text{tg} \frac{8\pi}{9}$

Функция $y = \text{tg}(x)$ является возрастающей на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Сравним аргументы тангенсов: $\frac{7\pi}{9}$ и $\frac{8\pi}{9}$. Очевидно, что $\frac{7\pi}{9} < \frac{8\pi}{9}$.

Оба угла, $\frac{7\pi}{9}$ и $\frac{8\pi}{9}$, принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}; \pi)$, так как $\frac{4.5\pi}{9} < \frac{7\pi}{9} < \frac{9\pi}{9}$ и $\frac{4.5\pi}{9} < \frac{8\pi}{9} < \frac{9\pi}{9}$. Этот интервал является частью интервала возрастания тангенса $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Поскольку $\frac{7\pi}{9} < \frac{8\pi}{9}$ и функция $\text{tg}(x)$ на этом промежутке возрастает, то $\text{tg} \frac{7\pi}{9} < \text{tg} \frac{8\pi}{9}$.

Ответ: $\text{tg} \frac{7\pi}{9} < \text{tg} \frac{8\pi}{9}$.

г) $\text{tg} \frac{11\pi}{10}$ и $\text{tg} \frac{13\pi}{10}$

Функция $y = \text{tg}(x)$ является возрастающей на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Сравним аргументы тангенсов: $\frac{11\pi}{10}$ и $\frac{13\pi}{10}$. Очевидно, что $\frac{11\pi}{10} < \frac{13\pi}{10}$.

Оба угла, $\frac{11\pi}{10}$ и $\frac{13\pi}{10}$, принадлежат интервалу $(\pi; \frac{3\pi}{2})$, так как $\frac{10\pi}{10} < \frac{11\pi}{10} < \frac{15\pi}{10}$ и $\frac{10\pi}{10} < \frac{13\pi}{10} < \frac{15\pi}{10}$. Этот интервал является частью интервала возрастания тангенса $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Поскольку $\frac{11\pi}{10} < \frac{13\pi}{10}$ и функция $\text{tg}(x)$ на этом промежутке возрастает, то $\text{tg} \frac{11\pi}{10} < \text{tg} \frac{13\pi}{10}$.

Ответ: $\text{tg} \frac{11\pi}{10} < \text{tg} \frac{13\pi}{10}$.

д) $\text{tg} \frac{\pi}{11}$ и $\text{tg} \frac{13\pi}{12}$

Сначала преобразуем второе выражение, используя свойство периодичности тангенса $\text{tg}(x + \pi k) = \text{tg}(x)$, где $k$ - целое число.

$\text{tg} \frac{13\pi}{12} = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{12}) = \text{tg} \frac{\pi}{12}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\text{tg} \frac{\pi}{11}$ и $\text{tg} \frac{\pi}{12}$.

Функция $y = \text{tg}(x)$ возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Сравним аргументы: $\frac{\pi}{11}$ и $\frac{\pi}{12}$. Поскольку $11 < 12$, то $\frac{1}{11} > \frac{1}{12}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{11} > \frac{\pi}{12}$.

Оба угла принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, на котором тангенс возрастает. Так как $\frac{\pi}{11} > \frac{\pi}{12}$, то $\text{tg} \frac{\pi}{11} > \text{tg} \frac{\pi}{12}$.

Следовательно, $\text{tg} \frac{\pi}{11} > \text{tg} \frac{13\pi}{12}$.

Ответ: $\text{tg} \frac{\pi}{11} > \text{tg} \frac{13\pi}{12}$.

е) $\text{tg} \frac{6\pi}{7}$ и $\text{tg} (-\frac{\pi}{5})$

Определим знаки сравниваемых величин. Угол $\frac{6\pi}{7}$ находится во второй четверти $(\frac{\pi}{2} < \frac{6\pi}{7} < \pi)$, поэтому $\text{tg} \frac{6\pi}{7} < 0$. Угол $-\frac{\pi}{5}$ находится в четвертой четверти $(-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{5} < 0)$, поэтому $\text{tg}(-\frac{\pi}{5}) < 0$.

Так как оба значения отрицательны, используем свойства тангенса для упрощения.

Используем формулу приведения $\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$: $\text{tg} \frac{6\pi}{7} = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{7}) = -\text{tg} \frac{\pi}{7}$.

Используем свойство нечетности тангенса $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$: $\text{tg}(-\frac{\pi}{5}) = -\text{tg} \frac{\pi}{5}$.

Задача сводится к сравнению $-\text{tg} \frac{\pi}{7}$ и $-\text{tg} \frac{\pi}{5}$. Это эквивалентно сравнению положительных величин $\text{tg} \frac{\pi}{7}$ и $\text{tg} \frac{\pi}{5}$.

Функция $y = \text{tg}(x)$ возрастает на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$. Оба угла, $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{5}$, принадлежат этому интервалу.

Сравним аргументы: поскольку $5 < 7$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{7}$, и $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}$.

Так как функция тангенса возрастает, то $\text{tg} \frac{\pi}{5} > \text{tg} \frac{\pi}{7}$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-\text{tg} \frac{\pi}{5} < -\text{tg} \frac{\pi}{7}$.

Подставляя обратно исходные выражения, получаем: $\text{tg}(-\frac{\pi}{5}) < \text{tg} \frac{6\pi}{7}$.

Ответ: $\text{tg} \frac{6\pi}{7} > \text{tg}(-\frac{\pi}{5})$.