Номер 10.28, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.4. Функция y=ctgx - номер 10.28, страница 294.

Условие.

10.28 Постройте график функции $y = \operatorname{ctg} x$ по точкам на интервале $(0; \pi)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для построения графика функции $y = \text{ctg } x$ на интервале $(0; \pi)$ по точкам, сначала проанализируем её свойства на этом интервале, затем составим таблицу значений и после этого построим сам график.

1. Свойства функции.
Функция котангенса определяется формулой $y = \text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
- Область определения на интервале: Функция определена и непрерывна на всём интервале $(0; \pi)$, так как знаменатель $\sin x$ обращается в ноль только в точках $x=0$ и $x=\pi$, которые не входят в данный интервал. - Вертикальные асимптоты: На границах интервала функция стремится к бесконечности.

• При $x \to 0^+$ (справа), $\cos x \to 1$ и $\sin x \to 0^+$, следовательно, $y \to +\infty$. Прямая $x=0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой.
• При $x \to \pi^-$ (слева), $\cos x \to -1$ и $\sin x \to 0^+$, следовательно, $y \to -\infty$. Прямая $x=\pi$ является вертикальной асимптотой.

- Монотонность: Функция является убывающей на всём интервале $(0; \pi)$. - Нули функции: Функция обращается в ноль, когда $\cos x = 0$. На интервале $(0; \pi)$ это происходит при $x = \frac{\pi}{2}$.

2. Таблица значений.
Выберем несколько характерных точек на интервале $(0; \pi)$ и вычислим для них значения $y = \text{ctg } x$.

$x$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$
$y = \text{ctg } x$ (точное значение)	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$
$y = \text{ctg } x$ (приближенное значение)	$1.73$	$1$	$0.58$	$0$	$-0.58$	$-1$	$-1.73$

3. Построение графика.
- Начертим координатные оси $Ox$ и $Oy$. - Проведем вертикальные асимптоты $x=0$ и $x=\pi$ (показаны синим пунктиром). - Отметим на оси $Ox$ значения $\frac{\pi}{4} \approx 0.79$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{4} \approx 2.36$, $\pi \approx 3.14$. - Нанесем на координатную плоскость точки из таблицы. - Соединим точки плавной кривой так, чтобы она убывала на всем протяжении и асимптотически приближалась к прямым $x=0$ и $x=\pi$.

Ответ: График функции $y = \text{ctg } x$ на интервале $(0; \pi)$ построен по точкам и представлен на рисунке выше. Это плавно убывающая кривая, проходящая через точку $(\frac{\pi}{2}; 0)$ и имеющая вертикальные асимптоты $x=0$ и $x=\pi$.