Номер 10.27, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.4. Функция y=ctgx - номер 10.27, страница 294.

Условие.

10.27° Сформулируйте свойства функции $y = \operatorname{ctg} x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1. Область определения
Функция $y = \operatorname{ctg} x$ определяется как отношение $y = \frac{\cos x}{\sin x}$. Она существует тогда, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Это условие выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: Область определения $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений
Функция котангенс может принимать любое действительное значение от $-\infty$ до $+\infty$.
Ответ: Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

3. Четность
Для проверки на четность найдем значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = \operatorname{ctg}(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)}$. Так как косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$), а синус — нечетная ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем: $y(-x) = \frac{\cos x}{-\sin x} = -\frac{\cos x}{\sin x} = - \operatorname{ctg} x$. Поскольку выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.
Ответ: Функция нечетная.

4. Периодичность
Функция является периодической. Это означает, что ее значения повторяются через определенный интервал (период). Для котангенса $\operatorname{ctg}(x + \pi) = \operatorname{ctg} x$ для любого $x$ из области определения. Наименьший положительный период $T$ равен $\pi$.
Ответ: Функция периодическая с основным периодом $T = \pi$.

5. Нули функции
Нули функции — это значения $x$, при которых $y(x) = 0$. $\operatorname{ctg} x = 0 \implies \frac{\cos x}{\sin x} = 0$. Это равенство выполняется, когда числитель $\cos x = 0$, а знаменатель $\sin x \neq 0$. Решения уравнения $\cos x = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\sin x$ принимает значения $\pm 1$, то есть не равен нулю.
Ответ: Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства
Знак функции $y=\operatorname{ctg} x$ зависит от знаков $\sin x$ и $\cos x$.
$y > 0$ ($\operatorname{ctg} x > 0$), когда $\cos x$ и $\sin x$ имеют одинаковые знаки (I и III координатные четверти). С учетом периодичности это интервалы $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ ($\operatorname{ctg} x < 0$), когда $\cos x$ и $\sin x$ имеют разные знаки (II и IV координатные четверти). С учетом периодичности это интервалы $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$; $y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi(k+1)), k \in \mathbb{Z}$.

7. Монотонность
Для анализа монотонности найдем производную функции: $y' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Так как $\sin^2 x > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y' < 0$ всегда. Это означает, что функция является строго убывающей на каждом интервале своей области определения.
Ответ: Функция убывает на каждом из интервалов вида $(\pi k; \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы
Поскольку производная функции $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ нигде не обращается в ноль и не меняет свой знак в области определения, у функции нет точек локального максимума или минимума.
Ответ: Экстремумов нет.

9. Асимптоты
В точках разрыва, где знаменатель $\sin x$ обращается в ноль, функция имеет вертикальные асимптоты. Это происходит при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Поведение функции вблизи этих асимптот следующее: $\lim_{x\to \pi k^+} \operatorname{ctg} x = +\infty$ и $\lim_{x\to \pi k^-} \operatorname{ctg} x = -\infty$. Горизонтальных или наклонных асимптот нет, так как функция является периодической.
Ответ: Вертикальные асимптоты — прямые вида $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.