Номер 10.30, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.4. Функция y=ctgx - номер 10.30, страница 294.

Условие.

10.30° a) Является ли периодом функции $y = \text{ctg} x$ число: $0; \frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \pi; -\pi; \frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}; 2\pi; -2\pi$?

б) Каков главный период функции $y = \text{ctg} x$?

в) Какое свойство графика функции $y = \text{ctg} x$ следует из её периодичности?

г) Как называют график функции $y = \text{ctg} x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Число $T \neq 0$ является периодом функции $y = f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Известно, что наименьший положительный период (главный период) функции $y = \text{ctg } x$ равен $\pi$. Все остальные периоды этой функции имеют вид $T = k\pi$, где $k$ — любое целое число, не равное нулю ($k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$). Проверим предложенные числа на соответствие этому правилу.

Число 0: не является периодом, так как по определению период должен быть отличен от нуля ($T \neq 0$).

Числа $\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}$: не являются периодами, так как они не могут быть представлены в виде $k\pi$ для какого-либо целого $k$. Например, для $\frac{\pi}{2}$ равенство $\frac{\pi}{2} = k\pi$ выполняется при $k = \frac{1}{2}$, что не является целым числом.

Числа $\pi; -\pi; 2\pi; -2\pi$: являются периодами, так как они представляются в виде $k\pi$ для целых значений $k$:
$\pi = 1 \cdot \pi$ (здесь $k=1$);
$-\pi = -1 \cdot \pi$ (здесь $k=-1$);
$2\pi = 2 \cdot \pi$ (здесь $k=2$);
$-2\pi = -2 \cdot \pi$ (здесь $k=-2$).

Ответ: периодами являются числа $\pi, -\pi, 2\pi, -2\pi$; не являются периодами числа $0, \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}$.

б)

Главным периодом функции называется её наименьший положительный период. Множество всех периодов функции $y = \text{ctg } x$ задается формулой $T = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$. Выберем из этого множества все положительные периоды, подставляя натуральные значения $k=1, 2, 3, \ldots$:
при $k=1, T = \pi$;
при $k=2, T = 2\pi$;
при $k=3, T = 3\pi$, и так далее.

Наименьшим в этом ряду положительных периодов является число $\pi$.

Ответ: $\pi$.

в)

Периодичность функции означает, что ее график состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Если функция $y=f(x)$ имеет период $T$, то для построения ее графика достаточно построить ветвь на любом промежутке длиной $T$ (например, для котангенса на интервале $(0, \pi)$) и затем выполнить параллельный перенос этой ветви вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $kT$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: весь график функции $y = \text{ctg } x$ можно получить из его ветви на интервале $(0, \pi)$ с помощью параллельных переносов вдоль оси $Ox$ на расстояния $k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г)

График каждой из основных тригонометрических функций имеет свое название. График функции $y = \text{ctg } x$ называют котангенсоидой.

Ответ: котангенсоида.