Номер 10.30, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
10.4. Функция y=ctgx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.30, страница 294.
№10.30 (с. 294)
Условие. №10.30 (с. 294)
скриншот условия

10.30° a) Является ли периодом функции $y = \text{ctg} x$ число: $0; \frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \pi; -\pi; \frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}; 2\pi; -2\pi$?
б) Каков главный период функции $y = \text{ctg} x$?
в) Какое свойство графика функции $y = \text{ctg} x$ следует из её периодичности?
г) Как называют график функции $y = \text{ctg} x$?
Решение 1. №10.30 (с. 294)




Решение 2. №10.30 (с. 294)

Решение 3. №10.30 (с. 294)

Решение 4. №10.30 (с. 294)

Решение 5. №10.30 (с. 294)
а)
Число $T \neq 0$ является периодом функции $y = f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Известно, что наименьший положительный период (главный период) функции $y = \text{ctg } x$ равен $\pi$. Все остальные периоды этой функции имеют вид $T = k\pi$, где $k$ — любое целое число, не равное нулю ($k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$). Проверим предложенные числа на соответствие этому правилу.
Число 0: не является периодом, так как по определению период должен быть отличен от нуля ($T \neq 0$).
Числа $\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}$: не являются периодами, так как они не могут быть представлены в виде $k\pi$ для какого-либо целого $k$. Например, для $\frac{\pi}{2}$ равенство $\frac{\pi}{2} = k\pi$ выполняется при $k = \frac{1}{2}$, что не является целым числом.
Числа $\pi; -\pi; 2\pi; -2\pi$: являются периодами, так как они представляются в виде $k\pi$ для целых значений $k$:
$\pi = 1 \cdot \pi$ (здесь $k=1$);
$-\pi = -1 \cdot \pi$ (здесь $k=-1$);
$2\pi = 2 \cdot \pi$ (здесь $k=2$);
$-2\pi = -2 \cdot \pi$ (здесь $k=-2$).
Ответ: периодами являются числа $\pi, -\pi, 2\pi, -2\pi$; не являются периодами числа $0, \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}$.
б)
Главным периодом функции называется её наименьший положительный период. Множество всех периодов функции $y = \text{ctg } x$ задается формулой $T = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$. Выберем из этого множества все положительные периоды, подставляя натуральные значения $k=1, 2, 3, \ldots$:
при $k=1, T = \pi$;
при $k=2, T = 2\pi$;
при $k=3, T = 3\pi$, и так далее.
Наименьшим в этом ряду положительных периодов является число $\pi$.
Ответ: $\pi$.
в)
Периодичность функции означает, что ее график состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Если функция $y=f(x)$ имеет период $T$, то для построения ее графика достаточно построить ветвь на любом промежутке длиной $T$ (например, для котангенса на интервале $(0, \pi)$) и затем выполнить параллельный перенос этой ветви вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $kT$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: весь график функции $y = \text{ctg } x$ можно получить из его ветви на интервале $(0, \pi)$ с помощью параллельных переносов вдоль оси $Ox$ на расстояния $k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
г)
График каждой из основных тригонометрических функций имеет свое название. График функции $y = \text{ctg } x$ называют котангенсоидой.
Ответ: котангенсоида.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 10.30 расположенного на странице 294 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.30 (с. 294), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.