Номер 10.32, страница 295 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.4. Функция y=ctgx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.32, страница 295.

10.32 Сравните:

а) ctg $\frac{\pi}{7}$ и ctg $\frac{6\pi}{7}$;

б) ctg $(-\frac{\pi}{7})$ и ctg $(-\frac{6\pi}{7})$;

в) ctg $\frac{7\pi}{9}$ и ctg $\frac{8\pi}{9}$;

г) ctg $\frac{11\pi}{10}$ и ctg $\frac{13\pi}{10}$;

д) ctg $\frac{\pi}{11}$ и ctg $\frac{13\pi}{12}$;

е) ctg $\frac{6\pi}{7}$ и ctg $(-\frac{\pi}{5})$.

Для решения данных задач мы будем использовать свойства функции котангенс $y = \text{ctg}(x)$:

• Функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения, например, на $(0, \pi)$, $(\pi, 2\pi)$ и т.д. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из такого интервала, если $x_1 < x_2$, то $\text{ctg}(x_1) > \text{ctg}(x_2)$.
• Котангенс — нечетная функция: $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$.
• Котангенс — периодическая функция с периодом $\pi$: $\text{ctg}(x + \pi n) = \text{ctg}(x)$ для любого целого $n$.
• Знаки котангенса по четвертям: I (+), II (-), III (+), IV (-).

а)

Сравним $\text{ctg}\frac{\pi}{7}$ и $\text{ctg}\frac{6\pi}{7}$.

Аргументы $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{6\pi}{7}$ принадлежат интервалу $(0, \pi)$, на котором функция $y = \text{ctg}(x)$ монотонно убывает.

Сравним значения аргументов: $\frac{\pi}{7} < \frac{6\pi}{7}$.

Так как функция котангенса на этом интервале убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\text{ctg}\frac{\pi}{7} > \text{ctg}\frac{6\pi}{7}$.

Альтернативно, можно определить знаки: угол $\frac{\pi}{7}$ находится в I четверти, где котангенс положителен ($\text{ctg}\frac{\pi}{7} > 0$), а угол $\frac{6\pi}{7}$ — во II четверти, где котангенс отрицателен ($\text{ctg}\frac{6\pi}{7} < 0$). Положительное число всегда больше отрицательного.

Ответ: $\text{ctg}\frac{\pi}{7} > \text{ctg}\frac{6\pi}{7}$.

б)

Сравним $\text{ctg}(-\frac{\pi}{7})$ и $\text{ctg}(-\frac{6\pi}{7})$.

Определим, в каких координатных четвертях находятся углы.

Угол $-\frac{\pi}{7}$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, что соответствует IV координатной четверти. В этой четверти котангенс отрицателен: $\text{ctg}(-\frac{\pi}{7}) < 0$.

Угол $-\frac{6\pi}{7}$ находится в интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$, что соответствует III координатной четверти. В этой четверти котангенс положителен: $\text{ctg}(-\frac{6\pi}{7}) > 0$.

Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому $\text{ctg}(-\frac{6\pi}{7}) > \text{ctg}(-\frac{\pi}{7})$.

Ответ: $\text{ctg}(-\frac{\pi}{7}) < \text{ctg}(-\frac{6\pi}{7})$.

в)

Сравним $\text{ctg}\frac{7\pi}{9}$ и $\text{ctg}\frac{8\pi}{9}$.

Аргументы $\frac{7\pi}{9}$ и $\frac{8\pi}{9}$ принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, который является частью интервала $(0, \pi)$, где функция $y = \text{ctg}(x)$ монотонно убывает.

Сравним аргументы: $\frac{7\pi}{9} < \frac{8\pi}{9}$.

Поскольку функция убывает, большему аргументу соответствует меньшее значение функции. Таким образом, $\text{ctg}\frac{7\pi}{9} > \text{ctg}\frac{8\pi}{9}$.

Ответ: $\text{ctg}\frac{7\pi}{9} > \text{ctg}\frac{8\pi}{9}$.

г)

Сравним $\text{ctg}\frac{11\pi}{10}$ и $\text{ctg}\frac{13\pi}{10}$.

Аргументы $\frac{11\pi}{10}$ и $\frac{13\pi}{10}$ принадлежат интервалу $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, который является частью интервала $(\pi, 2\pi)$, где функция $y = \text{ctg}(x)$ монотонно убывает.

Сравним аргументы: $\frac{11\pi}{10} < \frac{13\pi}{10}$.

Так как функция убывает, большему аргументу соответствует меньшее значение функции. Значит, $\text{ctg}\frac{11\pi}{10} > \text{ctg}\frac{13\pi}{10}$.

Ответ: $\text{ctg}\frac{11\pi}{10} > \text{ctg}\frac{13\pi}{10}$.

д)

Сравним $\text{ctg}\frac{\pi}{11}$ и $\text{ctg}\frac{13\pi}{12}$.

Используем периодичность котангенса для второго выражения: $\text{ctg}\frac{13\pi}{12} = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{12}) = \text{ctg}\frac{\pi}{12}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\text{ctg}\frac{\pi}{11}$ и $\text{ctg}\frac{\pi}{12}$.

Оба аргумента, $\frac{\pi}{11}$ и $\frac{\pi}{12}$, находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, где функция $y = \text{ctg}(x)$ убывает.

Сравним аргументы: так как $11 < 12$, то $\frac{1}{11} > \frac{1}{12}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{11} > \frac{\pi}{12}$.

Поскольку функция убывает, большему аргументу соответствует меньшее значение функции: $\text{ctg}\frac{\pi}{11} < \text{ctg}\frac{\pi}{12}$.

Отсюда следует, что $\text{ctg}\frac{\pi}{11} < \text{ctg}\frac{13\pi}{12}$.

Ответ: $\text{ctg}\frac{\pi}{11} < \text{ctg}\frac{13\pi}{12}$.

е)

Сравним $\text{ctg}\frac{6\pi}{7}$ и $\text{ctg}(-\frac{\pi}{5})$.

Сначала определим знаки. Угол $\frac{6\pi}{7}$ находится во II четверти ($\text{ctg}\frac{6\pi}{7} < 0$). Угол $-\frac{\pi}{5}$ находится в IV четверти ($\text{ctg}(-\frac{\pi}{5}) < 0$).

Так как оба значения отрицательны, преобразуем их, используя формулы приведения и нечетность котангенса.

$\text{ctg}\frac{6\pi}{7} = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{7}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{7}$.

$\text{ctg}(-\frac{\pi}{5}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{5}$.

Теперь сравним $-\text{ctg}\frac{\pi}{7}$ и $-\text{ctg}\frac{\pi}{5}$. Для этого сначала сравним $\text{ctg}\frac{\pi}{7}$ и $\text{ctg}\frac{\pi}{5}$.

Аргументы $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{5}$ лежат в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, где котангенс убывает.

Сравним аргументы: так как $7 > 5$, то $\frac{1}{7} < \frac{1}{5}$, значит $\frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{5}$.

Из-за убывания функции, $\text{ctg}\frac{\pi}{7} > \text{ctg}\frac{\pi}{5}$.

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный: $-\text{ctg}\frac{\pi}{7} < -\text{ctg}\frac{\pi}{5}$.

Следовательно, $\text{ctg}\frac{6\pi}{7} < \text{ctg}(-\frac{\pi}{5})$.

Ответ: $\text{ctg}\frac{6\pi}{7} < \text{ctg}(-\frac{\pi}{5})$.