Номер 10.31, страница 295 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.4. Функция y=ctgx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.31, страница 295.

10.31 Укажите три числовых промежутка, на каждом из которых функция $y = ctg x$ убывает.

Чтобы определить промежутки убывания функции $y = \text{ctg } x$, необходимо проанализировать ее поведение. Проще всего это сделать с помощью производной.

1. Найдём область определения функции.
Функция котангенса определяется как отношение $y = \text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Она не определена в точках, где знаменатель обращается в нуль, то есть где $\sin x = 0$. Это происходит при $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдём производную функции.
Производная функции $y = \text{ctg } x$ равна: $y' = (\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

3. Проанализируем знак производной.
Выражение $\sin^2 x$ является квадратом синуса, поэтому оно всегда неотрицательно: $\sin^2 x \ge 0$. В области определения функции $\sin x \neq 0$, следовательно, $\sin^2 x > 0$.
Так как знаменатель $\sin^2 x$ всегда строго положителен, то вся дробь $\frac{1}{\sin^2 x}$ также всегда положительна.
Из-за знака "минус" перед дробью производная $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ всегда отрицательна ($y' < 0$) на всей своей области определения.

4. Сделаем вывод о монотонности.
Если производная функции отрицательна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке убывает. Поскольку производная $y'$ отрицательна на всей области определения функции $y = \text{ctg } x$, функция убывает на каждом интервале, на котором она непрерывна. Эти интервалы имеют вид $(\pi n, \pi(n+1))$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Укажем три конкретных промежутка.
Для этого выберем три любых целых значения для $n$:

• Пусть $n = -1$, тогда промежуток будет $(-\pi, 0)$.
• Пусть $n = 0$, тогда промежуток будет $(0, \pi)$.
• Пусть $n = 1$, тогда промежуток будет $(\pi, 2\pi)$.

Это три примера числовых промежутков, на каждом из которых функция $y = \text{ctg } x$ убывает.

Ответ: $(0; \pi)$, $(\pi; 2\pi)$, $(-\pi; 0)$.