Номер 10.26, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.4. Функция y=ctgx - номер 10.26, страница 294.

Условие.

10.26°

a) В каком случае говорят, что задана функция $y = \operatorname{ctg} x$ числового аргумента $x$?

б) При каких значениях $x$ определена функция $y = \operatorname{ctg} x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Говорят, что задана функция $y = \operatorname{ctg} x$ числового аргумента $x$, если установлено правило (закон), по которому каждому действительному числу $x$ из области определения функции ставится в соответствие единственное действительное число $y$.
Для функции котангенса это правило задается формулой, которая выражает котангенс через отношение косинуса и синуса аргумента:
$y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$
Здесь аргумент $x$ — это действительное число, которое интерпретируется как радианная мера угла. Каждому числу $x$, для которого $\sin x \neq 0$, ставится в соответствие единственное значение $y$, равное котангенсу этого числа.

Ответ: Говорят, что задана функция $y = \operatorname{ctg} x$ числового аргумента $x$, если каждому допустимому значению $x$ поставлено в соответствие единственное число $y$, равное $\frac{\cos x}{\sin x}$.

б) Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.
Функция $y = \operatorname{ctg} x$ задана формулой $y = \frac{\cos x}{\sin x}$.
Это выражение представляет собой дробь. Дробное выражение определено (имеет смысл) только в том случае, если его знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменателем является $\sin x$.
Следовательно, для того чтобы функция $y = \operatorname{ctg} x$ была определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
$\sin x \neq 0$
Функция $\sin x$ равна нулю, когда ее аргумент $x$ принимает значения, кратные $\pi$. Это можно записать в виде общей формулы:
$x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Таким образом, область определения функции $y = \operatorname{ctg} x$ — это все действительные числа, кроме чисел вида $\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Функция $y = \operatorname{ctg} x$ определена при всех значениях $x$, кроме $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.