Номер 10.19, страница 291 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.3. Функция y=tgx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.19, страница 291.

10.19°

а) В каком случае говорят, что задана функция $y = \text{tg } x$ числового аргумента $x?

б) При каких значениях $x$ определена функция $y = \text{tg } x?

в) Сформулируйте свойства функции $y = \text{tg } x.

а) Говорят, что задана функция $y = \operatorname{tg} x$ числового аргумента $x$, когда установлен закон (правило), по которому каждому действительному числу $x$ из определенного множества (области определения) ставится в соответствие единственное действительное число $y$. Для функции $y = \operatorname{tg} x$ это правило состоит в вычислении тангенса числа $x$, где $x$ рассматривается как действительное число (величина угла, выраженная в радианах).

Ответ: Говорят, что задана функция $y = \operatorname{tg} x$, если каждому числу $x$ из области определения функции тангенс поставлено в соответствие единственное число $y$, равное $\operatorname{tg} x$.

б) Функция тангенса определяется как отношение синуса к косинусу: $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Дробь имеет смысл (определена) только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Следовательно, функция $y = \operatorname{tg} x$ определена для всех тех значений аргумента $x$, при которых выполняется условие $\cos x \neq 0$.

Известно, что косинус равен нулю при значениях аргумента $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, область определения функции $y = \operatorname{tg} x$ — это множество всех действительных чисел, кроме чисел вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Функция определена при всех значениях $x$, таких что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Основные свойства функции $y = \operatorname{tg} x$:

• Область определения: множество всех действительных чисел, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В виде множества: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

• Область значений: множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

• Периодичность: функция является периодической. Наименьший положительный период равен $\pi$. То есть, $\operatorname{tg}(x+\pi) = \operatorname{tg} x$ для любого $x$ из области определения.

• Четность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$. График функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0;0)$).

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y=0$ при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

• Промежутки знакопостоянства:

  • $\operatorname{tg} x > 0$ (функция положительна) на интервалах $(\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

  • $\operatorname{tg} x < 0$ (функция отрицательна) на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

• Монотонность (промежутки возрастания и убывания): функция строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения, то есть на интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

• Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.

• Асимптоты: прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, являются вертикальными асимптотами графика функции.

Ответ: Свойства функции $y=\operatorname{tg} x$: область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; область значений $(-\infty, +\infty)$; функция нечетная; периодическая с периодом $\pi$; возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$; нули при $x = \pi k$; не имеет экстремумов; вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.