Номер 10.23, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.3. Функция y=tgx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.23, страница 292.

10.23 Укажите три числовых промежутка, на каждом из которых функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает.

Для того чтобы найти промежутки, на которых функция $y = \tg x$ возрастает, необходимо исследовать ее свойства, в частности, ее производную.

1. Область определения и непрерывность.
Функция тангенса определяется по формуле $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Она определена и непрерывна везде, где ее знаменатель $\cos x$ не равен нулю. Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). В этих точках график функции имеет вертикальные асимптоты. Таким образом, функция $y = \tg x$ непрерывна на каждом из интервалов вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$.

2. Производная функции.
Чтобы определить промежутки возрастания и убывания, найдем производную функции $y = \tg x$ по переменной $x$:
$y' = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

3. Анализ знака производной.
Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($y' > 0$).
В области определения функции $\tg x$ косинус не равен нулю, поэтому выражение $\cos^2 x$ всегда строго положительно ($\cos^2 x > 0$).
Следовательно, производная $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$ также всегда положительна на всей области определения функции.
Это означает, что функция $y = \tg x$ возрастает на каждом из промежутков, где она определена и непрерывна.

4. Выбор трех промежутков.
Промежутки возрастания имеют вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$. Для ответа на вопрос необходимо указать три конкретных промежутка, выбрав три различных целых значения для $n$.

Первый промежуток
Выберем $n=0$. Подставляя в общую формулу, получаем интервал: $(-\frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0; \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0)$.
Ответ: $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Второй промежуток
Выберем $n=1$. Подставляя в общую формулу, получаем интервал: $(-\frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1; \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1)$.
Ответ: $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Третий промежуток
Выберем $n=-1$. Подставляя в общую формулу, получаем интервал: $(-\frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-1); \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-1))$.
Ответ: $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2})$.