Номер 10.16, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.2. Функции y=cosx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.16, страница 287.

10.16 Сравните:

а) $\cos \frac{3\pi}{7}$ и $\cos \frac{2\pi}{7}$;

б) $\cos \left(-\frac{\pi}{7}\right)$ и $\cos \left(-\frac{2\pi}{7}\right)$;

в) $\cos \frac{\pi}{8}$ и $\cos \frac{5\pi}{8}$;

г) $\cos \left(-\frac{5\pi}{7}\right)$ и $\cos \left(-\frac{3\pi}{7}\right)$;

д) $\cos \frac{13\pi}{12}$ и $\cos \frac{23\pi}{12}$;

е) $\cos \frac{\pi}{9}$ и $\cos \frac{5\pi}{9}$.

Для сравнения значений косинусов будем использовать свойства функции $y = \cos(x)$. Эта функция является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$. Также важно помнить о монотонности функции: на промежутке $[0, \pi]$ функция $y = \cos(x)$ убывает, а на промежутке $[\pi, 2\pi]$ — возрастает. Убывание на $[0, \pi]$ означает, что для любых двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\cos(x_1) > \cos(x_2)$.

а) Сравним $\cos \frac{3\pi}{7}$ и $\cos \frac{2\pi}{7}$.

Оба угла, $\frac{2\pi}{7}$ и $\frac{3\pi}{7}$, принадлежат промежутку $[0, \pi]$. Сравним сами углы: $\frac{2\pi}{7} < \frac{3\pi}{7}$. Поскольку на промежутке $[0, \pi]$ функция косинус является убывающей, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\cos \frac{2\pi}{7} > \cos \frac{3\pi}{7}$.

Ответ: $\cos \frac{3\pi}{7} < \cos \frac{2\pi}{7}$.

б) Сравним $\cos(-\frac{\pi}{7})$ и $\cos(-\frac{2\pi}{7})$.

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$. Тогда $\cos(-\frac{\pi}{7}) = \cos(\frac{\pi}{7})$ и $\cos(-\frac{2\pi}{7}) = \cos(\frac{2\pi}{7})$. Теперь задача сводится к сравнению $\cos \frac{\pi}{7}$ и $\cos \frac{2\pi}{7}$. Оба угла $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{2\pi}{7}$ принадлежат промежутку $[0, \pi]$. Так как $\frac{\pi}{7} < \frac{2\pi}{7}$ и функция косинус на этом промежутке убывает, то $\cos \frac{\pi}{7} > \cos \frac{2\pi}{7}$.

Ответ: $\cos(-\frac{\pi}{7}) > \cos(-\frac{2\pi}{7})$.

в) Сравним $\cos \frac{\pi}{8}$ и $\cos \frac{5\pi}{8}$.

Определим, в каких четвертях находятся углы. Угол $\frac{\pi}{8}$ находится в первой четверти, так как $0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$. В этой четверти косинус положителен: $\cos \frac{\pi}{8} > 0$. Угол $\frac{5\pi}{8}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{8} < \pi$. В этой четверти косинус отрицателен: $\cos \frac{5\pi}{8} < 0$. Положительное число всегда больше отрицательного, следовательно, $\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{5\pi}{8}$.

Ответ: $\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{5\pi}{8}$.

г) Сравним $\cos(-\frac{5\pi}{7})$ и $\cos(-\frac{3\pi}{7})$.

Используя свойство четности косинуса, преобразуем выражения: $\cos(-\frac{5\pi}{7}) = \cos(\frac{5\pi}{7})$ и $\cos(-\frac{3\pi}{7}) = \cos(\frac{3\pi}{7})$. Теперь сравним знаки полученных значений. Угол $\frac{3\pi}{7}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$), поэтому $\cos \frac{3\pi}{7} > 0$. Угол $\frac{5\pi}{7}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi$), поэтому $\cos \frac{5\pi}{7} < 0$. Следовательно, $\cos \frac{5\pi}{7} < \cos \frac{3\pi}{7}$.

Ответ: $\cos(-\frac{5\pi}{7}) < \cos(-\frac{3\pi}{7})$.

д) Сравним $\cos \frac{13\pi}{12}$ и $\cos \frac{23\pi}{12}$.

Определим положение углов на тригонометрической окружности. Угол $\frac{13\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12}$ находится в третьей четверти. В этой четверти косинус отрицателен: $\cos \frac{13\pi}{12} < 0$. Угол $\frac{23\pi}{12} = 2\pi - \frac{\pi}{12}$ находится в четвертой четверти. В этой четверти косинус положителен: $\cos \frac{23\pi}{12} > 0$. Положительное число больше отрицательного, поэтому $\cos \frac{13\pi}{12} < \cos \frac{23\pi}{12}$. Другой способ: функция $y = \cos(x)$ возрастает на промежутке $[\pi, 2\pi]$. Оба угла, $\frac{13\pi}{12}$ и $\frac{23\pi}{12}$, принадлежат этому промежутку. Так как $\frac{13\pi}{12} < \frac{23\pi}{12}$, то и $\cos \frac{13\pi}{12} < \cos \frac{23\pi}{12}$.

Ответ: $\cos \frac{13\pi}{12} < \cos \frac{23\pi}{12}$.

е) Сравним $\cos \frac{\pi}{9}$ и $\cos \frac{5\pi}{9}$.

Определим знаки косинусов. Угол $\frac{\pi}{9}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$), поэтому $\cos \frac{\pi}{9} > 0$. Угол $\frac{5\pi}{9}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9} < \frac{5\pi}{9} < \pi$), поэтому $\cos \frac{5\pi}{9} < 0$. Так как положительное число всегда больше отрицательного, то $\cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{5\pi}{9}$.

Ответ: $\cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{5\pi}{9}$.