Номер 10.17, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.2. Функции y=cosx - номер 10.17, страница 287.

Условие.

10.17* Постройте график функции:

а) $y = |\cos x|$;

б) $y = \cos (\pi - x)$;

в) $y = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$;

г) $y = \cos |x|$;

д) $y = \cos x + 1$;

е) $y = |\cos x + 0,5|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для построения графика функции $y = |\cos x|$ необходимо сначала построить стандартный график функции $y = \cos x$. Затем, согласно правилу построения графиков функций вида $y = |f(x)|$, та часть графика $y = \cos x$, которая находится выше или на оси абсцисс (где $\cos x \ge 0$), остается без изменений. Та часть графика, которая находится ниже оси абсцисс (где $\cos x < 0$), отражается симметрично относительно оси абсцисс. В результате все отрицательные значения функции становятся положительными.
Ответ: График функции $y = |\cos x|$ получается из графика $y = \cos x$ путем симметричного отражения участков, находящихся под осью $Ox$, относительно этой оси. Период полученной функции равен $\pi$, а область значений — $[0, 1]$.

б) Для построения графика функции $y = \cos(\pi - x)$ воспользуемся формулой приведения для косинуса: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Применив эту формулу к нашей функции, получаем: $y = \cos(\pi - x) = -\cos x$.
Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = -\cos x$. Этот график получается из графика $y = \cos x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$).
Ответ: График функции $y = \cos(\pi - x)$ совпадает с графиком функции $y = -\cos x$, который является симметричным отражением графика $y = \cos x$ относительно оси $Ox$.

в) Рассмотрим функцию $y = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$. Выражение в правой части является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. В нашем случае аргумент $\alpha = \frac{x}{2}$, следовательно, $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.
Таким образом, исходная функция тождественно равна $y = \cos x$.
Ответ: График данной функции является стандартной косинусоидой, то есть графиком функции $y = \cos x$.

г) Для построения графика функции $y = \cos|x|$ используется правило построения графиков вида $y = f(|x|)$. Необходимо построить график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$, а затем отразить полученную часть графика симметрично относительно оси ординат ($Oy$) на область $x < 0$.
Однако функция $y = \cos x$ является четной, что означает $\cos(-x) = \cos x$ для любого действительного $x$. Из этого следует, что $\cos|x| = \cos x$. График четной функции уже симметричен относительно оси $Oy$, поэтому описанное преобразование не изменит его.
Ответ: График функции $y = \cos|x|$ полностью совпадает с графиком функции $y = \cos x$.

д) График функции $y = \cos x + 1$ получается из графика функции $y = \cos x$ с помощью геометрического преобразования. Преобразование вида $y = f(x) + c$ соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика $y = f(x)$ вдоль оси ординат ($Oy$).
В нашем случае $c=1$, что означает сдвиг вверх на 1 единицу. Каждая точка графика $y = \cos x$ смещается на 1 единицу вверх.
Ответ: График функции $y = \cos x + 1$ получается из графика $y = \cos x$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Область значений функции — $[0, 2]$.

е) Построение графика функции $y = |\cos x + 0.5|$ выполняется в два последовательных шага:
1. Сначала строим график промежуточной функции $g(x) = \cos x + 0.5$. Этот график получается из графика $y = \cos x$ путем параллельного переноса на 0.5 единицы вверх вдоль оси $Oy$. График этой функции колеблется в диапазоне от $y = -0.5$ до $y = 1.5$.
2. Далее применяем операцию взятия модуля: $y = |g(x)| = |\cos x + 0.5|$. Части графика $y = \cos x + 0.5$, которые лежат выше или на оси $Ox$ (где $g(x) \ge 0$), остаются без изменений. Части, которые лежат ниже оси $Ox$ (где $g(x) < 0$, то есть $\cos x < -0.5$), отражаются симметрично относительно оси $Ox$.
Ответ: График функции $y = |\cos x + 0.5|$ получается из графика $y = \cos x$, сдвинутого на 0.5 единицы вверх, с последующим симметричным отражением участков, находящихся под осью $Ox$, относительно этой оси.