Номер 10.20, страница 291 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.3. Функция y=tgx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.20, страница 291.

10.20 Постройте график функции $y = \operatorname{tg} x$ по точкам на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$.

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ по точкам, необходимо выполнить анализ функции, вычислить координаты нескольких ключевых точек, а затем нанести их на координатную плоскость и соединить плавной линией.

1. Анализ функции

• Область определения и асимптоты: Функция $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ не определена, когда знаменатель $\cos x = 0$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число. На заданном интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция не определена на его границах. Прямые $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ являются вертикальными асимптотами графика. При $x \to \frac{\pi}{2}^-$ значение $y \to +\infty$, а при $x \to -\frac{\pi}{2}^+$ значение $y \to -\infty$.

• Симметрия: Функция является нечетной, так как $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$. Ее график симметричен относительно начала координат $(0, 0)$.

• Монотонность: Функция возрастает на всем интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так как ее производная $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$ всегда положительна.

• Точки пересечения с осями координат: Если $x=0$, то $y = \operatorname{tg} 0 = 0$. График проходит через начало координат. Это единственная точка пересечения с осями на данном интервале.

2. Вычисление координат точек

Составим таблицу значений функции для нескольких удобных точек из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

$x$	$y = \operatorname{tg} x$	Приблизительное значение $y$
$-\frac{\pi}{3}$	$-\sqrt{3}$	$\approx -1.73$
$-\frac{\pi}{4}$	$-1$	$-1$
$-\frac{\pi}{6}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\approx -0.58$
$0$	$0$	$0$
$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\approx 0.58$
$\frac{\pi}{4}$	$1$	$1$
$\frac{\pi}{3}$	$\sqrt{3}$	$\approx 1.73$

3. Построение графика

1. Начертим координатные оси $Ox$ и $Oy$.
2. Проведем вертикальные пунктирные линии (асимптоты) $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.
3. Отметим на плоскости точки из таблицы: $(-\frac{\pi}{3}, -\sqrt{3})$, $(-\frac{\pi}{4}, -1)$, $(-\frac{\pi}{6}, -\frac{\sqrt{3}}{3})$, $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{6}, \frac{\sqrt{3}}{3})$, $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{3}, \sqrt{3})$.
4. Соединим точки плавной кривой, которая возрастает, проходит через начало координат и стремится к асимптотам на границах интервала.

График функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ выглядит следующим образом:

Ответ:

График функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ является основной ветвью тангенсоиды. Это возрастающая кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точку $(0,0)$ и асимптотически приближающаяся к вертикальным прямым $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$. График построен по точкам, представленным в таблице и на рисунке.