Номер 10.21, страница 291 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.3. Функция y=tgx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.21, страница 291.

10.21° a) Является ли функция $y = \operatorname{tg} x$ чётной (нечётной)? Докажите.

б) Какое свойство графика функции $y = \operatorname{tg} x$ следует из доказанного утверждения?

в) Постройте график функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, используя это свойство.

г) На каком промежутке функция $y = \operatorname{tg} x, x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, положительна? отрицательна?

а) Является ли функция y = tg x чётной (нечётной)? Докажите.

Чтобы определить, является ли функция $y = \operatorname{tg} x$ чётной или нечётной, нужно проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (для чётной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечётной функции) для всех $x$ из области определения.

Область определения функции $y = \operatorname{tg} x$ — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно нуля (если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ ей принадлежит).

Найдём значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = \operatorname{tg}(-x)$

Используя определение тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и свойства чётности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$) и косинуса ($\cos(-x) = \cos x$), получаем:

$\operatorname{tg}(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\cos x} = - \frac{\sin x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x$

Поскольку выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Функция $y = \operatorname{tg} x$ является нечётной.

б) Какое свойство графика функции y = tg x следует из доказанного утверждения?

Из того, что функция $y = \operatorname{tg} x$ является нечётной, следует свойство её графика. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0; 0)$).

Это означает, что если точка $(x_0; y_0)$ принадлежит графику функции, то и точка $(-x_0; -y_0)$ также принадлежит этому графику.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} x$ симметричен относительно начала координат.

в) Постройте график функции y = tg x на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, используя это свойство.

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ воспользуемся свойством симметрии относительно начала координат.

Сначала построим график для $x \in [0; \frac{\pi}{2})$. Найдём несколько ключевых точек:

• При $x=0$, $y = \operatorname{tg}(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=\frac{\pi}{4}$, $y = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Точка $(\frac{\pi}{4}; 1)$.
• При $x \to \frac{\pi}{2}$ слева, $y = \operatorname{tg} x \to +\infty$. Прямая $x = \frac{\pi}{2}$ является вертикальной асимптотой графика.

Теперь, используя симметрию относительно начала координат, найдём соответствующие точки для $x \in (-\frac{\pi}{2}; 0]$:

• Точка $(0; 0)$ симметрична сама себе.
• Точке $(\frac{\pi}{4}; 1)$ соответствует симметричная точка $(-\frac{\pi}{4}; -1)$.
• Вертикальной асимптоте $x = \frac{\pi}{2}$ соответствует симметричная вертикальная асимптота $x = -\frac{\pi}{2}$. При $x \to -\frac{\pi}{2}$ справа, $y = \operatorname{tg} x \to -\infty$.

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции на заданном интервале.

Ответ: График представляет собой возрастающую кривую, проходящую через начало координат и ограниченную вертикальными асимптотами $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

г) На каком промежутке функция y = tg x, $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, положительна? отрицательна?

Чтобы определить, на каком промежутке функция $y = \operatorname{tg} x$ положительна или отрицательна на интервале $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, можно проанализировать её знак или посмотреть на построенный график.

1. Аналитический способ: Знак тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ зависит от знаков $\sin x$ и $\cos x$.

• На всем интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция $\cos x$ положительна ($\cos x > 0$).
• Следовательно, знак $\operatorname{tg} x$ совпадает со знаком $\sin x$.
• Функция $\sin x$ положительна при $x \in (0; \pi)$. В пределах нашего интервала это означает $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
• Функция $\sin x$ отрицательна при $x \in (-\pi; 0)$. В пределах нашего интервала это означает $x \in (-\frac{\pi}{2}; 0)$.

2. Графический способ:

• Функция положительна там, где её график лежит выше оси Ox. Из графика в пункте в) видно, что это происходит на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$.
• Функция отрицательна там, где её график лежит ниже оси Ox. Из графика видно, что это происходит на интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.

Ответ: Функция положительна на промежутке $(0; \frac{\pi}{2})$ и отрицательна на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.