Номер 10.25, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.3. Функция y=tgx - номер 10.25, страница 292.

Условие.

10.25* Постройте график функции:

а) $y = |\operatorname{tg} x|;$

б) $y = \operatorname{tg} |x|;$

в) $y = \operatorname{tg} (\pi - x);$

г) $y = \operatorname{tg} x - 1;$

д) $y = |\operatorname{tg} x - 1|;$

е) $y = \operatorname{tg} x \cos x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для построения графика функции $y = |\operatorname{tg} x|$ выполним следующие шаги:

1. Сначала строим график основной функции $y = \operatorname{tg} x$. Это периодическая функция с периодом $T=\pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Применяем преобразование взятия модуля от всей функции ($y = |f(x)|$). Правило: часть графика, которая находится выше оси Ox (где $y \ge 0$), остается неизменной. Часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox.
3. Для функции $y = \operatorname{tg} x$:
   • На интервалах $[k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$ тангенс неотрицателен, поэтому на этих участках график $y = |\operatorname{tg} x|$ совпадает с графиком $y = \operatorname{tg} x$.
   • На интервалах $(\frac{\pi}{2} + k\pi, \pi + k\pi)$ тангенс отрицателен, поэтому на этих участках график $y = \operatorname{tg} x$ отражается симметрично относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y = |\operatorname{tg} x|$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ отражением всех его частей, лежащих под осью Ox, симметрично относительно этой оси. Асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ сохраняются. Период функции равен $\pi$. Весь график находится в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

б)

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg} |x|$ выполним следующие шаги:

1. Данная функция является четной, так как $y(-x) = \operatorname{tg}|-x| = \operatorname{tg}|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.
2. Для построения графика четной функции ($y = f(|x|)$), сначала строим график функции $y = \operatorname{tg} x$ для $x \ge 0$. Эта часть графика начинается в точке $(0,0)$ и продолжается вправо, имея вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$.
3. Затем отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. При этом асимптоты также отражаются, и появляются асимптоты при $x = -\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}, \dots$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} |x|$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ следующим образом: часть графика при $x \ge 0$ сохраняется, а часть при $x < 0$ удаляется и заменяется на симметричное отражение части для $x > 0$ относительно оси Oy.

в)

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg}(\pi - x)$ выполним преобразование выражения:

1. Используем свойства тригонометрических функций. Период тангенса равен $\pi$, поэтому $\operatorname{tg}(\alpha + \pi) = \operatorname{tg}(\alpha)$. Следовательно, $y = \operatorname{tg}(\pi - x) = \operatorname{tg}(-x + \pi) = \operatorname{tg}(-x)$.
2. Тангенс является нечетной функцией, то есть $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$.
3. Таким образом, исходная функция тождественно равна $y = -\operatorname{tg} x$.
4. График функции $y = -\operatorname{tg} x$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}(\pi - x)$ совпадает с графиком функции $y = -\operatorname{tg} x$. Он получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ симметричным отражением относительно оси Ox. Функция является убывающей на каждом интервале определения.

г)

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg} x - 1$ выполним следующие шаги:

1. Строим график основной функции $y = \operatorname{tg} x$.
2. Выполняем преобразование вида $y = f(x) - c$. В данном случае $c=1$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) всего графика на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.
3. Все точки графика $y = \operatorname{tg} x$ смещаются на 1 вниз. Например, точка $(0,0)$ переходит в $(0,-1)$, а точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{4}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} x - 1$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ параллельным переносом на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ остаются без изменений.

д)

Для построения графика функции $y = |\operatorname{tg} x - 1|$ выполним следующие шаги:

1. Сначала строим график вспомогательной функции $g(x) = \operatorname{tg} x - 1$. Как показано в пункте г), это график тангенса, сдвинутый на 1 единицу вниз.
2. Применяем преобразование модуля $y = |g(x)|$. Часть графика $g(x)$, расположенная ниже оси Ox, отражается симметрично относительно этой оси. Часть, расположенная выше или на оси Ox, остается без изменений.
3. Определим, где $g(x) < 0$: $\operatorname{tg} x - 1 < 0 \implies \operatorname{tg} x < 1$. Это происходит на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi)$. На этих интервалах график отражается.
4. Точки, где $\operatorname{tg} x - 1 = 0$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, являются точками "излома" графика, где он касается оси Ox.

Ответ: График функции $y = |\operatorname{tg} x - 1|$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x - 1$ отражением его частей, лежащих под осью Ox, симметрично относительно этой оси. Весь график лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

е)

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg} x \cos x$ проанализируем функцию:

1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Функция $\operatorname{tg} x$ определена при $\cos x \ne 0$, то есть при $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это и есть ОДЗ для всей функции.
2. Упростим выражение функции на её области определения. Поскольку $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$, то $y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x$.
3. Таким образом, на всей области определения функция совпадает с функцией $y = \sin x$. Это означает, что их графики совпадают везде, кроме точек, не входящих в ОДЗ.
4. Точки $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ должны быть исключены из графика. Эти точки на синусоиде соответствуют её локальным максимумам (при $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$, $y=1$) и минимумам (при $x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$, $y=-1$). Эти точки необходимо "выколоть".

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} x \cos x$ — это график функции $y = \sin x$, из которого удалены все точки, соответствующие ее локальным максимумам и минимумам. То есть это синусоида с "выколотыми" точками вида $(\frac{\pi}{2} + k\pi, (-1)^k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.