Страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.23 Укажите три числовых промежутка, на каждом из которых функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает.

Для того чтобы найти промежутки, на которых функция $y = \tg x$ возрастает, необходимо исследовать ее свойства, в частности, ее производную.

1. Область определения и непрерывность.
Функция тангенса определяется по формуле $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Она определена и непрерывна везде, где ее знаменатель $\cos x$ не равен нулю. Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). В этих точках график функции имеет вертикальные асимптоты. Таким образом, функция $y = \tg x$ непрерывна на каждом из интервалов вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$.

2. Производная функции.
Чтобы определить промежутки возрастания и убывания, найдем производную функции $y = \tg x$ по переменной $x$:
$y' = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

3. Анализ знака производной.
Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($y' > 0$).
В области определения функции $\tg x$ косинус не равен нулю, поэтому выражение $\cos^2 x$ всегда строго положительно ($\cos^2 x > 0$).
Следовательно, производная $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$ также всегда положительна на всей области определения функции.
Это означает, что функция $y = \tg x$ возрастает на каждом из промежутков, где она определена и непрерывна.

4. Выбор трех промежутков.
Промежутки возрастания имеют вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$. Для ответа на вопрос необходимо указать три конкретных промежутка, выбрав три различных целых значения для $n$.

Первый промежуток
Выберем $n=0$. Подставляя в общую формулу, получаем интервал: $(-\frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0; \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0)$.
Ответ: $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Второй промежуток
Выберем $n=1$. Подставляя в общую формулу, получаем интервал: $(-\frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1; \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1)$.
Ответ: $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Третий промежуток
Выберем $n=-1$. Подставляя в общую формулу, получаем интервал: $(-\frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-1); \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-1))$.
Ответ: $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2})$.

10.24 Сравните:

а) $tg \frac{\pi}{7}$ и $tg \frac{\pi}{8}$;

б) $tg \left(-\frac{\pi}{7}\right)$ и $tg \left(-\frac{\pi}{8}\right)$;

в) $tg \frac{7\pi}{9}$ и $tg \frac{8\pi}{9}$;

г) $tg \frac{11\pi}{10}$ и $tg \frac{13\pi}{10}$;

д) $tg \frac{\pi}{11}$ и $tg \frac{13\pi}{12}$;

е) $tg \frac{6\pi}{7}$ и $tg \left(-\frac{\pi}{5}\right)$.

а) $\text{tg} \frac{\pi}{7}$ и $\text{tg} \frac{\pi}{8}$

Рассмотрим функцию $y = \text{tg}(x)$. Эта функция является строго возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Сначала сравним аргументы тангенсов: $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{8}$.

Поскольку $7 < 8$, то $\frac{1}{7} > \frac{1}{8}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{7} > \frac{\pi}{8}$.

Оба угла, $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{8}$, принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, на котором функция тангенса возрастает.

Так как аргумент $\frac{\pi}{7}$ больше аргумента $\frac{\pi}{8}$ и функция на этом промежутке возрастает, то и значение функции в этой точке будет больше. Таким образом, $\text{tg} \frac{\pi}{7} > \text{tg} \frac{\pi}{8}$.

Ответ: $\text{tg} \frac{\pi}{7} > \text{tg} \frac{\pi}{8}$.

б) $\text{tg} (-\frac{\pi}{7})$ и $\text{tg} (-\frac{\pi}{8})$

Функция $y = \text{tg}(x)$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Сравним аргументы тангенсов: $-\frac{\pi}{7}$ и $-\frac{\pi}{8}$.

Как мы установили в пункте а), $\frac{\pi}{7} > \frac{\pi}{8}$. При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{\pi}{7} < -\frac{\pi}{8}$.

Оба угла, $-\frac{\pi}{7}$ и $-\frac{\pi}{8}$, принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}; 0)$, который является частью интервала возрастания $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Так как $-\frac{\pi}{7} < -\frac{\pi}{8}$ и функция $\text{tg}(x)$ возрастает на этом промежутке, то $\text{tg}(-\frac{\pi}{7}) < \text{tg}(-\frac{\pi}{8})$.

Ответ: $\text{tg} (-\frac{\pi}{7}) < \text{tg} (-\frac{\pi}{8})$.

в) $\text{tg} \frac{7\pi}{9}$ и $\text{tg} \frac{8\pi}{9}$

Функция $y = \text{tg}(x)$ является возрастающей на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Сравним аргументы тангенсов: $\frac{7\pi}{9}$ и $\frac{8\pi}{9}$. Очевидно, что $\frac{7\pi}{9} < \frac{8\pi}{9}$.

Оба угла, $\frac{7\pi}{9}$ и $\frac{8\pi}{9}$, принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}; \pi)$, так как $\frac{4.5\pi}{9} < \frac{7\pi}{9} < \frac{9\pi}{9}$ и $\frac{4.5\pi}{9} < \frac{8\pi}{9} < \frac{9\pi}{9}$. Этот интервал является частью интервала возрастания тангенса $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Поскольку $\frac{7\pi}{9} < \frac{8\pi}{9}$ и функция $\text{tg}(x)$ на этом промежутке возрастает, то $\text{tg} \frac{7\pi}{9} < \text{tg} \frac{8\pi}{9}$.

Ответ: $\text{tg} \frac{7\pi}{9} < \text{tg} \frac{8\pi}{9}$.

г) $\text{tg} \frac{11\pi}{10}$ и $\text{tg} \frac{13\pi}{10}$

Функция $y = \text{tg}(x)$ является возрастающей на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Сравним аргументы тангенсов: $\frac{11\pi}{10}$ и $\frac{13\pi}{10}$. Очевидно, что $\frac{11\pi}{10} < \frac{13\pi}{10}$.

Оба угла, $\frac{11\pi}{10}$ и $\frac{13\pi}{10}$, принадлежат интервалу $(\pi; \frac{3\pi}{2})$, так как $\frac{10\pi}{10} < \frac{11\pi}{10} < \frac{15\pi}{10}$ и $\frac{10\pi}{10} < \frac{13\pi}{10} < \frac{15\pi}{10}$. Этот интервал является частью интервала возрастания тангенса $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Поскольку $\frac{11\pi}{10} < \frac{13\pi}{10}$ и функция $\text{tg}(x)$ на этом промежутке возрастает, то $\text{tg} \frac{11\pi}{10} < \text{tg} \frac{13\pi}{10}$.

Ответ: $\text{tg} \frac{11\pi}{10} < \text{tg} \frac{13\pi}{10}$.

д) $\text{tg} \frac{\pi}{11}$ и $\text{tg} \frac{13\pi}{12}$

Сначала преобразуем второе выражение, используя свойство периодичности тангенса $\text{tg}(x + \pi k) = \text{tg}(x)$, где $k$ - целое число.

$\text{tg} \frac{13\pi}{12} = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{12}) = \text{tg} \frac{\pi}{12}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\text{tg} \frac{\pi}{11}$ и $\text{tg} \frac{\pi}{12}$.

Функция $y = \text{tg}(x)$ возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Сравним аргументы: $\frac{\pi}{11}$ и $\frac{\pi}{12}$. Поскольку $11 < 12$, то $\frac{1}{11} > \frac{1}{12}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{11} > \frac{\pi}{12}$.

Оба угла принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, на котором тангенс возрастает. Так как $\frac{\pi}{11} > \frac{\pi}{12}$, то $\text{tg} \frac{\pi}{11} > \text{tg} \frac{\pi}{12}$.

Следовательно, $\text{tg} \frac{\pi}{11} > \text{tg} \frac{13\pi}{12}$.

Ответ: $\text{tg} \frac{\pi}{11} > \text{tg} \frac{13\pi}{12}$.

е) $\text{tg} \frac{6\pi}{7}$ и $\text{tg} (-\frac{\pi}{5})$

Определим знаки сравниваемых величин. Угол $\frac{6\pi}{7}$ находится во второй четверти $(\frac{\pi}{2} < \frac{6\pi}{7} < \pi)$, поэтому $\text{tg} \frac{6\pi}{7} < 0$. Угол $-\frac{\pi}{5}$ находится в четвертой четверти $(-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{5} < 0)$, поэтому $\text{tg}(-\frac{\pi}{5}) < 0$.

Так как оба значения отрицательны, используем свойства тангенса для упрощения.

Используем формулу приведения $\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$: $\text{tg} \frac{6\pi}{7} = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{7}) = -\text{tg} \frac{\pi}{7}$.

Используем свойство нечетности тангенса $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$: $\text{tg}(-\frac{\pi}{5}) = -\text{tg} \frac{\pi}{5}$.

Задача сводится к сравнению $-\text{tg} \frac{\pi}{7}$ и $-\text{tg} \frac{\pi}{5}$. Это эквивалентно сравнению положительных величин $\text{tg} \frac{\pi}{7}$ и $\text{tg} \frac{\pi}{5}$.

Функция $y = \text{tg}(x)$ возрастает на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$. Оба угла, $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{5}$, принадлежат этому интервалу.

Сравним аргументы: поскольку $5 < 7$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{7}$, и $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}$.

Так как функция тангенса возрастает, то $\text{tg} \frac{\pi}{5} > \text{tg} \frac{\pi}{7}$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-\text{tg} \frac{\pi}{5} < -\text{tg} \frac{\pi}{7}$.

Подставляя обратно исходные выражения, получаем: $\text{tg}(-\frac{\pi}{5}) < \text{tg} \frac{6\pi}{7}$.

Ответ: $\text{tg} \frac{6\pi}{7} > \text{tg}(-\frac{\pi}{5})$.

10.25* Постройте график функции:

а) $y = |\operatorname{tg} x|;$

б) $y = \operatorname{tg} |x|;$

в) $y = \operatorname{tg} (\pi - x);$

г) $y = \operatorname{tg} x - 1;$

д) $y = |\operatorname{tg} x - 1|;$

е) $y = \operatorname{tg} x \cos x.$

а)

Для построения графика функции $y = |\operatorname{tg} x|$ выполним следующие шаги:

1. Сначала строим график основной функции $y = \operatorname{tg} x$. Это периодическая функция с периодом $T=\pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Применяем преобразование взятия модуля от всей функции ($y = |f(x)|$). Правило: часть графика, которая находится выше оси Ox (где $y \ge 0$), остается неизменной. Часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox.
3. Для функции $y = \operatorname{tg} x$:
   • На интервалах $[k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$ тангенс неотрицателен, поэтому на этих участках график $y = |\operatorname{tg} x|$ совпадает с графиком $y = \operatorname{tg} x$.
   • На интервалах $(\frac{\pi}{2} + k\pi, \pi + k\pi)$ тангенс отрицателен, поэтому на этих участках график $y = \operatorname{tg} x$ отражается симметрично относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y = |\operatorname{tg} x|$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ отражением всех его частей, лежащих под осью Ox, симметрично относительно этой оси. Асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ сохраняются. Период функции равен $\pi$. Весь график находится в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

б)

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg} |x|$ выполним следующие шаги:

1. Данная функция является четной, так как $y(-x) = \operatorname{tg}|-x| = \operatorname{tg}|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.
2. Для построения графика четной функции ($y = f(|x|)$), сначала строим график функции $y = \operatorname{tg} x$ для $x \ge 0$. Эта часть графика начинается в точке $(0,0)$ и продолжается вправо, имея вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$.
3. Затем отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. При этом асимптоты также отражаются, и появляются асимптоты при $x = -\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}, \dots$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} |x|$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ следующим образом: часть графика при $x \ge 0$ сохраняется, а часть при $x < 0$ удаляется и заменяется на симметричное отражение части для $x > 0$ относительно оси Oy.

в)

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg}(\pi - x)$ выполним преобразование выражения:

1. Используем свойства тригонометрических функций. Период тангенса равен $\pi$, поэтому $\operatorname{tg}(\alpha + \pi) = \operatorname{tg}(\alpha)$. Следовательно, $y = \operatorname{tg}(\pi - x) = \operatorname{tg}(-x + \pi) = \operatorname{tg}(-x)$.
2. Тангенс является нечетной функцией, то есть $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$.
3. Таким образом, исходная функция тождественно равна $y = -\operatorname{tg} x$.
4. График функции $y = -\operatorname{tg} x$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}(\pi - x)$ совпадает с графиком функции $y = -\operatorname{tg} x$. Он получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ симметричным отражением относительно оси Ox. Функция является убывающей на каждом интервале определения.

г)

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg} x - 1$ выполним следующие шаги:

1. Строим график основной функции $y = \operatorname{tg} x$.
2. Выполняем преобразование вида $y = f(x) - c$. В данном случае $c=1$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) всего графика на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.
3. Все точки графика $y = \operatorname{tg} x$ смещаются на 1 вниз. Например, точка $(0,0)$ переходит в $(0,-1)$, а точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{4}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} x - 1$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ параллельным переносом на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ остаются без изменений.

д)

Для построения графика функции $y = |\operatorname{tg} x - 1|$ выполним следующие шаги:

1. Сначала строим график вспомогательной функции $g(x) = \operatorname{tg} x - 1$. Как показано в пункте г), это график тангенса, сдвинутый на 1 единицу вниз.
2. Применяем преобразование модуля $y = |g(x)|$. Часть графика $g(x)$, расположенная ниже оси Ox, отражается симметрично относительно этой оси. Часть, расположенная выше или на оси Ox, остается без изменений.
3. Определим, где $g(x) < 0$: $\operatorname{tg} x - 1 < 0 \implies \operatorname{tg} x < 1$. Это происходит на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi)$. На этих интервалах график отражается.
4. Точки, где $\operatorname{tg} x - 1 = 0$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, являются точками "излома" графика, где он касается оси Ox.

Ответ: График функции $y = |\operatorname{tg} x - 1|$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x - 1$ отражением его частей, лежащих под осью Ox, симметрично относительно этой оси. Весь график лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

е)

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg} x \cos x$ проанализируем функцию:

1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Функция $\operatorname{tg} x$ определена при $\cos x \ne 0$, то есть при $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это и есть ОДЗ для всей функции.
2. Упростим выражение функции на её области определения. Поскольку $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$, то $y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x$.
3. Таким образом, на всей области определения функция совпадает с функцией $y = \sin x$. Это означает, что их графики совпадают везде, кроме точек, не входящих в ОДЗ.
4. Точки $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ должны быть исключены из графика. Эти точки на синусоиде соответствуют её локальным максимумам (при $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$, $y=1$) и минимумам (при $x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$, $y=-1$). Эти точки необходимо "выколоть".

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} x \cos x$ — это график функции $y = \sin x$, из которого удалены все точки, соответствующие ее локальным максимумам и минимумам. То есть это синусоида с "выколотыми" точками вида $(\frac{\pi}{2} + k\pi, (-1)^k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.