Страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.26°

a) В каком случае говорят, что задана функция $y = \operatorname{ctg} x$ числового аргумента $x$?

б) При каких значениях $x$ определена функция $y = \operatorname{ctg} x$?

а) Говорят, что задана функция $y = \operatorname{ctg} x$ числового аргумента $x$, если установлено правило (закон), по которому каждому действительному числу $x$ из области определения функции ставится в соответствие единственное действительное число $y$.
Для функции котангенса это правило задается формулой, которая выражает котангенс через отношение косинуса и синуса аргумента:
$y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$
Здесь аргумент $x$ — это действительное число, которое интерпретируется как радианная мера угла. Каждому числу $x$, для которого $\sin x \neq 0$, ставится в соответствие единственное значение $y$, равное котангенсу этого числа.

Ответ: Говорят, что задана функция $y = \operatorname{ctg} x$ числового аргумента $x$, если каждому допустимому значению $x$ поставлено в соответствие единственное число $y$, равное $\frac{\cos x}{\sin x}$.

б) Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.
Функция $y = \operatorname{ctg} x$ задана формулой $y = \frac{\cos x}{\sin x}$.
Это выражение представляет собой дробь. Дробное выражение определено (имеет смысл) только в том случае, если его знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменателем является $\sin x$.
Следовательно, для того чтобы функция $y = \operatorname{ctg} x$ была определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
$\sin x \neq 0$
Функция $\sin x$ равна нулю, когда ее аргумент $x$ принимает значения, кратные $\pi$. Это можно записать в виде общей формулы:
$x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Таким образом, область определения функции $y = \operatorname{ctg} x$ — это все действительные числа, кроме чисел вида $\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Функция $y = \operatorname{ctg} x$ определена при всех значениях $x$, кроме $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

10.27° Сформулируйте свойства функции $y = \operatorname{ctg} x.$

1. Область определения
Функция $y = \operatorname{ctg} x$ определяется как отношение $y = \frac{\cos x}{\sin x}$. Она существует тогда, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Это условие выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: Область определения $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений
Функция котангенс может принимать любое действительное значение от $-\infty$ до $+\infty$.
Ответ: Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

3. Четность
Для проверки на четность найдем значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = \operatorname{ctg}(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)}$. Так как косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$), а синус — нечетная ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем: $y(-x) = \frac{\cos x}{-\sin x} = -\frac{\cos x}{\sin x} = - \operatorname{ctg} x$. Поскольку выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.
Ответ: Функция нечетная.

4. Периодичность
Функция является периодической. Это означает, что ее значения повторяются через определенный интервал (период). Для котангенса $\operatorname{ctg}(x + \pi) = \operatorname{ctg} x$ для любого $x$ из области определения. Наименьший положительный период $T$ равен $\pi$.
Ответ: Функция периодическая с основным периодом $T = \pi$.

5. Нули функции
Нули функции — это значения $x$, при которых $y(x) = 0$. $\operatorname{ctg} x = 0 \implies \frac{\cos x}{\sin x} = 0$. Это равенство выполняется, когда числитель $\cos x = 0$, а знаменатель $\sin x \neq 0$. Решения уравнения $\cos x = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\sin x$ принимает значения $\pm 1$, то есть не равен нулю.
Ответ: Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства
Знак функции $y=\operatorname{ctg} x$ зависит от знаков $\sin x$ и $\cos x$.
$y > 0$ ($\operatorname{ctg} x > 0$), когда $\cos x$ и $\sin x$ имеют одинаковые знаки (I и III координатные четверти). С учетом периодичности это интервалы $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ ($\operatorname{ctg} x < 0$), когда $\cos x$ и $\sin x$ имеют разные знаки (II и IV координатные четверти). С учетом периодичности это интервалы $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$; $y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi(k+1)), k \in \mathbb{Z}$.

7. Монотонность
Для анализа монотонности найдем производную функции: $y' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Так как $\sin^2 x > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y' < 0$ всегда. Это означает, что функция является строго убывающей на каждом интервале своей области определения.
Ответ: Функция убывает на каждом из интервалов вида $(\pi k; \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы
Поскольку производная функции $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ нигде не обращается в ноль и не меняет свой знак в области определения, у функции нет точек локального максимума или минимума.
Ответ: Экстремумов нет.

9. Асимптоты
В точках разрыва, где знаменатель $\sin x$ обращается в ноль, функция имеет вертикальные асимптоты. Это происходит при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Поведение функции вблизи этих асимптот следующее: $\lim_{x\to \pi k^+} \operatorname{ctg} x = +\infty$ и $\lim_{x\to \pi k^-} \operatorname{ctg} x = -\infty$. Горизонтальных или наклонных асимптот нет, так как функция является периодической.
Ответ: Вертикальные асимптоты — прямые вида $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

10.28 Постройте график функции $y = \operatorname{ctg} x$ по точкам на интервале $(0; \pi)$.

Для построения графика функции $y = \text{ctg } x$ на интервале $(0; \pi)$ по точкам, сначала проанализируем её свойства на этом интервале, затем составим таблицу значений и после этого построим сам график.

1. Свойства функции.
Функция котангенса определяется формулой $y = \text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
- Область определения на интервале: Функция определена и непрерывна на всём интервале $(0; \pi)$, так как знаменатель $\sin x$ обращается в ноль только в точках $x=0$ и $x=\pi$, которые не входят в данный интервал. - Вертикальные асимптоты: На границах интервала функция стремится к бесконечности.

• При $x \to 0^+$ (справа), $\cos x \to 1$ и $\sin x \to 0^+$, следовательно, $y \to +\infty$. Прямая $x=0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой.
• При $x \to \pi^-$ (слева), $\cos x \to -1$ и $\sin x \to 0^+$, следовательно, $y \to -\infty$. Прямая $x=\pi$ является вертикальной асимптотой.

- Монотонность: Функция является убывающей на всём интервале $(0; \pi)$. - Нули функции: Функция обращается в ноль, когда $\cos x = 0$. На интервале $(0; \pi)$ это происходит при $x = \frac{\pi}{2}$.

2. Таблица значений.
Выберем несколько характерных точек на интервале $(0; \pi)$ и вычислим для них значения $y = \text{ctg } x$.

3. Построение графика.
- Начертим координатные оси $Ox$ и $Oy$. - Проведем вертикальные асимптоты $x=0$ и $x=\pi$ (показаны синим пунктиром). - Отметим на оси $Ox$ значения $\frac{\pi}{4} \approx 0.79$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{4} \approx 2.36$, $\pi \approx 3.14$. - Нанесем на координатную плоскость точки из таблицы. - Соединим точки плавной кривой так, чтобы она убывала на всем протяжении и асимптотически приближалась к прямым $x=0$ и $x=\pi$.

Ответ: График функции $y = \text{ctg } x$ на интервале $(0; \pi)$ построен по точкам и представлен на рисунке выше. Это плавно убывающая кривая, проходящая через точку $(\frac{\pi}{2}; 0)$ и имеющая вертикальные асимптоты $x=0$ и $x=\pi$.

10.29°

a) Является ли функция $y = \operatorname{ctg} x$ чётной (нечётной)? Докажите.

б) Какое свойство графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ следует из до-казанного утверждения?

в) Постройте график функции $y = \operatorname{ctg} x$ на множестве $(-\pi; 0) \cup (0; \pi)$, используя это свойство.

г) На каком промежутке функция $y = \operatorname{ctg} x, x \in (0; \pi)$, положительна? отрицательна?

а) Чтобы определить, является ли функция $y = \text{ctg } x$ чётной или нечётной, необходимо проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (для чётной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечётной функции). Область определения функции $D(y): x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$, является симметричной относительно начала координат.

Рассмотрим $y(-x) = \text{ctg}(-x)$.

Используя определение котангенса $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и свойства чётности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$) и нечётности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем:

$\text{ctg}(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos x}{-\sin x} = -\frac{\cos x}{\sin x} = -\text{ctg } x$.

Так как выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Функция $y = \text{ctg } x$ является нечётной.

б) Из того, что функция $y = \text{ctg } x$ является нечётной, следует, что её график симметричен относительно начала координат — точки $(0; 0)$.

Ответ: График функции $y = \text{ctg } x$ симметричен относительно начала координат.

в) Для построения графика функции $y = \text{ctg } x$ на множестве $(-\pi; 0) \cup (0; \pi)$ воспользуемся свойством симметрии относительно начала координат. Сначала построим ветвь графика на интервале $(0; \pi)$.

• Найдём значения в нескольких точках: $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, $\text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$, $\text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$.
• Определим поведение функции на границах интервала: при $x \to 0^+$, $y \to +\infty$; при $x \to \pi^-$, $y \to -\infty$. Прямые $x=0$ и $x=\pi$ являются вертикальными асимптотами.
• Построим ветвь графика на $(0; \pi)$, проходящую через точки $(\frac{\pi}{4}; 1)$, $(\frac{\pi}{2}; 0)$, $(\frac{3\pi}{4}; -1)$ и приближающуюся к асимптотам.
• Затем, используя симметрию относительно начала координат, отразим построенную ветвь. Каждая точка $(x; y)$ на графике перейдёт в точку $(-x; -y)$. Так, точка $(\frac{\pi}{2}; 0)$ перейдёт в $(-\frac{\pi}{2}; 0)$, асимптота $x=\pi$ перейдёт в асимптоту $x=-\pi$. Ветвь графика на интервале $(-\pi; 0)$ будет проходить через точку $(-\frac{\pi}{2}; 0)$ и приближаться к асимптотам $x=0$ и $x=-\pi$.

Ответ: График функции построен и представлен выше.

г) Требуется найти промежутки знакопостоянства функции $y = \text{ctg } x$ на интервале $x \in (0; \pi)$.

Знак $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$ зависит от знаков $\cos x$ и $\sin x$.

На интервале $(0; \pi)$ функция $\sin x$ всегда положительна ($\sin x > 0$).

Следовательно, знак $\text{ctg } x$ совпадает со знаком $\cos x$.

• Функция $\cos x$ положительна в первой четверти, то есть при $x \in (0; \frac{\pi}{2})$. На этом промежутке $\text{ctg } x > 0$.
• Функция $\cos x$ отрицательна во второй четверти, то есть при $x \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$. На этом промежутке $\text{ctg } x < 0$.
• При $x = \frac{\pi}{2}$, $\cos x = 0$, и, следовательно, $\text{ctg } x = 0$.

Ответ: На промежутке $(0; \pi)$ функция $y = \text{ctg } x$ положительна при $x \in (0; \frac{\pi}{2})$ и отрицательна при $x \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$.

10.30° a) Является ли периодом функции $y = \text{ctg} x$ число: $0; \frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \pi; -\pi; \frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}; 2\pi; -2\pi$?

б) Каков главный период функции $y = \text{ctg} x$?

в) Какое свойство графика функции $y = \text{ctg} x$ следует из её периодичности?

г) Как называют график функции $y = \text{ctg} x$?

а)

Число $T \neq 0$ является периодом функции $y = f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Известно, что наименьший положительный период (главный период) функции $y = \text{ctg } x$ равен $\pi$. Все остальные периоды этой функции имеют вид $T = k\pi$, где $k$ — любое целое число, не равное нулю ($k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$). Проверим предложенные числа на соответствие этому правилу.

Число 0: не является периодом, так как по определению период должен быть отличен от нуля ($T \neq 0$).

Числа $\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}$: не являются периодами, так как они не могут быть представлены в виде $k\pi$ для какого-либо целого $k$. Например, для $\frac{\pi}{2}$ равенство $\frac{\pi}{2} = k\pi$ выполняется при $k = \frac{1}{2}$, что не является целым числом.

Числа $\pi; -\pi; 2\pi; -2\pi$: являются периодами, так как они представляются в виде $k\pi$ для целых значений $k$:
$\pi = 1 \cdot \pi$ (здесь $k=1$);
$-\pi = -1 \cdot \pi$ (здесь $k=-1$);
$2\pi = 2 \cdot \pi$ (здесь $k=2$);
$-2\pi = -2 \cdot \pi$ (здесь $k=-2$).

Ответ: периодами являются числа $\pi, -\pi, 2\pi, -2\pi$; не являются периодами числа $0, \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}$.

б)

Главным периодом функции называется её наименьший положительный период. Множество всех периодов функции $y = \text{ctg } x$ задается формулой $T = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$. Выберем из этого множества все положительные периоды, подставляя натуральные значения $k=1, 2, 3, \ldots$:
при $k=1, T = \pi$;
при $k=2, T = 2\pi$;
при $k=3, T = 3\pi$, и так далее.

Наименьшим в этом ряду положительных периодов является число $\pi$.

Ответ: $\pi$.

в)

Периодичность функции означает, что ее график состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Если функция $y=f(x)$ имеет период $T$, то для построения ее графика достаточно построить ветвь на любом промежутке длиной $T$ (например, для котангенса на интервале $(0, \pi)$) и затем выполнить параллельный перенос этой ветви вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $kT$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: весь график функции $y = \text{ctg } x$ можно получить из его ветви на интервале $(0, \pi)$ с помощью параллельных переносов вдоль оси $Ox$ на расстояния $k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г)

График каждой из основных тригонометрических функций имеет свое название. График функции $y = \text{ctg } x$ называют котангенсоидой.

Ответ: котангенсоида.