Номер 10.29, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.4. Функция y=ctgx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.29, страница 294.

10.29°

a) Является ли функция $y = \operatorname{ctg} x$ чётной (нечётной)? Докажите.

б) Какое свойство графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ следует из до-казанного утверждения?

в) Постройте график функции $y = \operatorname{ctg} x$ на множестве $(-\pi; 0) \cup (0; \pi)$, используя это свойство.

г) На каком промежутке функция $y = \operatorname{ctg} x, x \in (0; \pi)$, положительна? отрицательна?

а) Чтобы определить, является ли функция $y = \text{ctg } x$ чётной или нечётной, необходимо проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (для чётной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечётной функции). Область определения функции $D(y): x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$, является симметричной относительно начала координат.

Рассмотрим $y(-x) = \text{ctg}(-x)$.

Используя определение котангенса $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и свойства чётности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$) и нечётности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем:

$\text{ctg}(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos x}{-\sin x} = -\frac{\cos x}{\sin x} = -\text{ctg } x$.

Так как выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Функция $y = \text{ctg } x$ является нечётной.

б) Из того, что функция $y = \text{ctg } x$ является нечётной, следует, что её график симметричен относительно начала координат — точки $(0; 0)$.

Ответ: График функции $y = \text{ctg } x$ симметричен относительно начала координат.

в) Для построения графика функции $y = \text{ctg } x$ на множестве $(-\pi; 0) \cup (0; \pi)$ воспользуемся свойством симметрии относительно начала координат. Сначала построим ветвь графика на интервале $(0; \pi)$.

• Найдём значения в нескольких точках: $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, $\text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$, $\text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$.
• Определим поведение функции на границах интервала: при $x \to 0^+$, $y \to +\infty$; при $x \to \pi^-$, $y \to -\infty$. Прямые $x=0$ и $x=\pi$ являются вертикальными асимптотами.
• Построим ветвь графика на $(0; \pi)$, проходящую через точки $(\frac{\pi}{4}; 1)$, $(\frac{\pi}{2}; 0)$, $(\frac{3\pi}{4}; -1)$ и приближающуюся к асимптотам.
• Затем, используя симметрию относительно начала координат, отразим построенную ветвь. Каждая точка $(x; y)$ на графике перейдёт в точку $(-x; -y)$. Так, точка $(\frac{\pi}{2}; 0)$ перейдёт в $(-\frac{\pi}{2}; 0)$, асимптота $x=\pi$ перейдёт в асимптоту $x=-\pi$. Ветвь графика на интервале $(-\pi; 0)$ будет проходить через точку $(-\frac{\pi}{2}; 0)$ и приближаться к асимптотам $x=0$ и $x=-\pi$.

Ответ: График функции построен и представлен выше.

г) Требуется найти промежутки знакопостоянства функции $y = \text{ctg } x$ на интервале $x \in (0; \pi)$.

Знак $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$ зависит от знаков $\cos x$ и $\sin x$.

На интервале $(0; \pi)$ функция $\sin x$ всегда положительна ($\sin x > 0$).

Следовательно, знак $\text{ctg } x$ совпадает со знаком $\cos x$.

• Функция $\cos x$ положительна в первой четверти, то есть при $x \in (0; \frac{\pi}{2})$. На этом промежутке $\text{ctg } x > 0$.
• Функция $\cos x$ отрицательна во второй четверти, то есть при $x \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$. На этом промежутке $\text{ctg } x < 0$.
• При $x = \frac{\pi}{2}$, $\cos x = 0$, и, следовательно, $\text{ctg } x = 0$.

Ответ: На промежутке $(0; \pi)$ функция $y = \text{ctg } x$ положительна при $x \in (0; \frac{\pi}{2})$ и отрицательна при $x \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$.