Номер 10.22, страница 291 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.3. Функция y=tgx - номер 10.22, страница 291.

Условие.

10.22.° a) Является ли периодом функции $y = \text{tg } x$ число: $0; \frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \pi; -\pi; \frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}; 2\pi; -2\pi$?

б) Каков главный период функции $y = \text{tg } x$?

в) Какое свойство графика функции $y = \text{tg } x$ следует из её периодичности?

г) Как называют график функции $y = \text{tg } x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Основной (наименьший положительный) период функции $y=\tg x$ равен $\pi$. Любое число вида $k\pi$, где $k$ — целое ненулевое число, также будет периодом. Рассмотрим предложенные числа:
• $0$ — не является периодом, так как по определению период должен быть отличен от нуля.
• $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$ — не являются периодами, так как, например, $\tg(x+\frac{\pi}{2}) = -\ctg x \neq \tg x$.
• $\pi$ и $-\pi$ — являются периодами, так как $\tg(x \pm \pi) = \tg x$.
• $\frac{3\pi}{2}$ и $-\frac{3\pi}{2}$ — не являются периодами, так как $\tg(x+\frac{3\pi}{2}) = \tg(x+\pi+\frac{\pi}{2}) = \tg(x+\frac{\pi}{2}) = -\ctg x \neq \tg x$.
• $2\pi$ и $-2\pi$ — являются периодами, так как они кратны основному периоду $\pi$ (например, $2\pi=2\cdot\pi$).
Ответ: периодами являются числа $\pi; -\pi; 2\pi; -2\pi$.

б) Главный (или основной) период функции — это её наименьший положительный период. Как известно, для функции $y=\tg x$ таким периодом является число $\pi$.
Ответ: $\pi$.

в) Периодичность функции означает, что её график состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Для функции $y=\tg x$ с основным периодом $T=\pi$ это свойство означает, что весь её график можно получить из одной ветви (например, на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$) путем её параллельного переноса вдоль оси абсцисс ($Ox$) на расстояния $k\pi$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: график функции состоит из бесконечного числа одинаковых ветвей, получаемых одна из другой параллельным переносом вдоль оси $Ox$ на $k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) График функции $y = \tg x$ имеет собственное название, аналогично синусоиде для функции $y = \sin x$.
Ответ: тангенсоида.