Номер 10.15, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.2. Функции y=cosx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.15, страница 287.

10.15 Определите промежутки возрастания (убывания) функции $y = \cos x$ на отрезке:

а) $[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}]$;

б) $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$;

в) $[-\pi; \pi]$;

г) $[0; 2\pi]$.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $y = \cos x$, необходимо найти ее производную и определить знаки производной на заданных отрезках.

Производная функции $y = \cos x$ равна $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($y' > 0$), и убывает на тех, где производная отрицательна ($y' < 0$).

• Возрастание: $y' > 0 \implies -\sin x > 0 \implies \sin x < 0$. Это выполняется для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. С учетом непрерывности функции, промежутки возрастания можно записать как $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$.

• Убывание: $y' < 0 \implies -\sin x < 0 \implies \sin x > 0$. Это выполняется для $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. С учетом непрерывности, промежутки убывания можно записать как $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$.

Теперь проанализируем каждый отрезок.

а) На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}]$.

Найдем промежутки, где функция убывает, пересекая общие промежутки убывания $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ с отрезком $[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$.

• При $k=0$: $[0, \pi]$. Пересечение с $[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ дает $[\frac{\pi}{2}, \pi]$.

• При $k=1$: $[2\pi, 3\pi]$. Пересечение с $[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ дает $[2\pi, \frac{5\pi}{2}]$.

Найдем промежутки, где функция возрастает, пересекая общие промежутки возрастания $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$ с отрезком $[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$.

• При $k=0$: $[\pi, 2\pi]$. Этот промежуток полностью входит в $[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$.

Ответ: функция возрастает на отрезке $[\pi, 2\pi]$ и убывает на отрезках $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ и $[2\pi, \frac{5\pi}{2}]$.

б) На отрезке $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$.

Найдем промежутки убывания, пересекая общие промежутки убывания $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ с отрезком $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.

• При $k=-1$: $[-2\pi, -\pi]$. Этот промежуток полностью входит в $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.

Найдем промежутки возрастания, пересекая общие промежутки возрастания $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$ с отрезком $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.

• При $k=-2$: $[-3\pi, -2\pi]$. Пересечение с $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$ дает $[-\frac{5\pi}{2}, -2\pi]$.

• При $k=-1$: $[-\pi, 0]$. Пересечение с $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$ дает $[-\pi, -\frac{\pi}{2}]$.

Ответ: функция возрастает на отрезках $[-\frac{5\pi}{2}, -2\pi]$ и $[-\pi, -\frac{\pi}{2}]$ и убывает на отрезке $[-2\pi, -\pi]$.

в) На отрезке $[-\pi; \pi]$.

Найдем промежутки убывания, пересекая $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ с $[-\pi, \pi]$.

• При $k=0$: $[0, \pi]$. Этот промежуток полностью входит в $[-\pi, \pi]$.

Найдем промежутки возрастания, пересекая $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$ с $[-\pi, \pi]$.

• При $k=-1$: $[-\pi, 0]$. Этот промежуток полностью входит в $[-\pi, \pi]$.

Ответ: функция возрастает на отрезке $[-\pi, 0]$ и убывает на отрезке $[0, \pi]$.

г) На отрезке $[0; 2\pi]$.

Найдем промежутки убывания, пересекая $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ с $[0, 2\pi]$.

• При $k=0$: $[0, \pi]$. Этот промежуток полностью входит в $[0, 2\pi]$.

Найдем промежутки возрастания, пересекая $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$ с $[0, 2\pi]$.

• При $k=0$: $[\pi, 2\pi]$. Этот промежуток полностью входит в $[0, 2\pi]$.

Ответ: функция возрастает на отрезке $[\pi, 2\pi]$ и убывает на отрезке $[0, \pi]$.