Номер 10.12, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.2. Функции y=cosx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.12, страница 287.

10.12 Постройте график функции $y=\cos x$ по точкам на отрезке $[0; \pi]$.

Для построения графика функции $y=\cos x$ на отрезке $[0; \pi]$ по точкам, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбрать несколько значений аргумента $x$ из заданного отрезка $[0; \pi]$.
2. Вычислить для каждого выбранного значения $x$ соответствующее значение функции $y = \cos x$.
3. Составить таблицу значений.
4. Нанести полученные точки $(x, y)$ на координатную плоскость.
5. Соединить точки плавной линией.

1. Выбор точек и вычисление значений функции

Выберем характерные точки на отрезке $[0; \pi]$, для которых значения косинуса хорошо известны. Это точки $0$, $\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$, $\pi/2$, $2\pi/3$, $3\pi/4$, $5\pi/6$ и $\pi$.Вычислим значения $y = \cos x$ для этих точек:

• При $x = 0$: $y = \cos(0) = 1$
• При $x = \pi/6$: $y = \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,87$
• При $x = \pi/4$: $y = \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,71$
• При $x = \pi/3$: $y = \cos(\pi/3) = \frac{1}{2} = 0,5$
• При $x = \pi/2$: $y = \cos(\pi/2) = 0$
• При $x = 2\pi/3$: $y = \cos(2\pi/3) = -\frac{1}{2} = -0,5$
• При $x = 3\pi/4$: $y = \cos(3\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0,71$
• При $x = 5\pi/6$: $y = \cos(5\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0,87$
• При $x = \pi$: $y = \cos(\pi) = -1$

2. Таблица значений

Сведем полученные результаты в таблицу:

$x$	$y = \cos x$	Приблизительное значение $y$
$0$	$1$	1.0
$\pi/6$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	0.87
$\pi/4$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	0.71
$\pi/3$	$\frac{1}{2}$	0.5
$\pi/2$	$0$	0.0
$2\pi/3$	$-\frac{1}{2}$	-0.5
$3\pi/4$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	-0.71
$5\pi/6$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	-0.87
$\pi$	$-1$	-1.0

3. Построение графика

Построим прямоугольную систему координат $Oxy$. На оси абсцисс $Ox$ отложим значения $x$ от $0$ до $\pi$. На оси ординат $Oy$ отложим значения $y$ от $-1$ до $1$.

Отметим на координатной плоскости точки с координатами $(x, y)$ из таблицы:$(0, 1)$, $(\pi/6, \approx 0.87)$, $(\pi/4, \approx 0.71)$, $(\pi/3, 0.5)$, $(\pi/2, 0)$, $(2\pi/3, -0.5)$, $(3\pi/4, \approx -0.71)$, $(5\pi/6, \approx -0.87)$ и $(\pi, -1)$.

Соединим отмеченные точки плавной кривой. Эта кривая и будет являться графиком функции $y=\cos x$ на отрезке $[0; \pi]$.

Ответ:

График функции $y=\cos x$ на отрезке $[0; \pi]$ построен по вычисленным точкам. График представляет собой часть косинусоиды, которая начинается в точке $(0, 1)$, монотонно убывает, пересекает ось $Ox$ в точке $(\pi/2, 0)$ и заканчивается в точке $(\pi, -1)$.