Номер 10.5, страница 284 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.1. Функция y=sinx - номер 10.5, страница 284.

Условие.

10.5°

a) Какую функцию называют периодической?

б) Является ли периодом функции $y = \sin x$ число: $0, \pi, -\pi, 2\pi, -2\pi, 3\pi, -3\pi, 4\pi, -4\pi$?

в) Каков главный период функции $y = \sin x$?

г) Какое свойство графика функции $y = \sin x$ следует из периодичности этой функции?

д) Как называют график функции $y = \sin x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Функцию $y = f(x)$ называют периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции выполняются равенства $f(x - T) = f(x) = f(x + T)$. Это число $T$ называют периодом функции.
Ответ: Периодической называют функцию, значения которой циклически повторяются через определенный ненулевой интервал (период).

б) Чтобы число $T$ было периодом функции $y = \sin x$, оно должно быть отличным от нуля и для любого $x$ должно выполняться равенство $\sin(x + T) = \sin x$.
- Число $0$ не является периодом по определению.
- Для $T = \pi$ и $T = -\pi$: $\sin(x \pm \pi) = -\sin x$, что не равно $\sin x$ (кроме случаев, когда $\sin x = 0$). Следовательно, $\pi$ и $-\pi$ не являются периодами.
- Для $T = 3\pi$ и $T = -3\pi$: $\sin(x \pm 3\pi) = \sin(x \pm \pi) = -\sin x$, поэтому $3\pi$ и $-3\pi$ также не являются периодами.
- Для $T = 2\pi k$, где $k$ - любое целое, не равное нулю, равенство $\sin(x + 2\pi k) = \sin x$ выполняется. Числа $2\pi, -2\pi, 4\pi, -4\pi$ соответствуют значениям $k=1, -1, 2, -2$. Следовательно, они являются периодами.
Ответ: Являются периодами: $2\pi, -2\pi, 4\pi, -4\pi$. Не являются периодами: $0, \pi, -\pi, 3\pi, -3\pi$.

в) Главным (или основным) периодом функции называется ее наименьший положительный период. Для функции $y = \sin x$ все периоды имеют вид $T = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ne 0$. Наименьшим положительным значением из этого множества является $2\pi$ (при $k=1$).
Ответ: $2\pi$.

г) Из периодичности функции $y = \sin x$ следует, что ее график состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых частей. Для построения всего графика достаточно построить его на любом отрезке длиной, равной главному периоду $2\pi$ (например, на отрезке $[0; 2\pi]$), а затем сдвинуть (параллельно перенести) этот фрагмент вдоль оси абсцисс на $2\pi k$ влево и вправо, где $k$ - любое целое число.
Ответ: График функции состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов, и его можно получить параллельным переносом части графика с любого отрезка длиной $2\pi$ вдоль оси $Ox$.

д) График функции $y = \sin x$ имеет специальное общепринятое название.
Ответ: Синусоида.