Номер 9.88, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.7*. Формулы для тангенсов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.88, страница 280.

9.88* Вычислите $\cos (\alpha + 2\beta)$, если:

a) $\text{tg } \alpha = \frac{3}{4}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\text{tg } \beta = -\frac{4}{3}$;

б) $\text{tg } \alpha = \frac{5}{12}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, $\text{tg } \beta = -\frac{3}{4}$.

а) Для вычисления $cos(\alpha + 2\beta)$ воспользуемся формулой косинуса суммы:
$cos(\alpha + 2\beta) = cos \alpha \cdot cos(2\beta) - sin \alpha \cdot sin(2\beta)$
Сначала найдем значения $cos \alpha$, $sin \alpha$, $cos(2\beta)$ и $sin(2\beta)$ из данных задачи.

1. Найдем $sin \alpha$ и $cos \alpha$.
Дано: $tg \alpha = \frac{3}{4}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в I четверти, где и синус, и косинус положительны.
Используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha}$.
$cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + tg^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{16+9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.
Поскольку $cos \alpha > 0$, получаем $cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
Теперь найдем синус: $sin \alpha = tg \alpha \cdot cos \alpha = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$.

2. Найдем $cos(2\beta)$ и $sin(2\beta)$.
Дано: $tg \beta = -\frac{4}{3}$. Для нахождения синуса и косинуса двойного угла воспользуемся формулами, выражающими их через тангенс одинарного угла:
$cos(2\beta) = \frac{1 - tg^2 \beta}{1 + tg^2 \beta} = \frac{1 - (-\frac{4}{3})^2}{1 + (-\frac{4}{3})^2} = \frac{1 - \frac{16}{9}}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{\frac{9-16}{9}}{\frac{9+16}{9}} = \frac{-\frac{7}{9}}{\frac{25}{9}} = -\frac{7}{25}$.
$sin(2\beta) = \frac{2 tg \beta}{1 + tg^2 \beta} = \frac{2 \cdot (-\frac{4}{3})}{1 + (-\frac{4}{3})^2} = \frac{-\frac{8}{3}}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{-\frac{8}{3}}{\frac{25}{9}} = -\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{25} = -\frac{24}{25}$.

3. Подставим все найденные значения в исходную формулу:
$cos(\alpha + 2\beta) = cos \alpha \cdot cos(2\beta) - sin \alpha \cdot sin(2\beta) = (\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{7}{25}) - (\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{24}{25}) = -\frac{28}{125} - (-\frac{72}{125}) = -\frac{28}{125} + \frac{72}{125} = \frac{44}{125}$.

Ответ: $\frac{44}{125}$.

б) Решение аналогично предыдущему пункту. Используем ту же формулу: $cos(\alpha + 2\beta) = cos \alpha \cdot cos(2\beta) - sin \alpha \cdot sin(2\beta)$.

1. Найдем $sin \alpha$ и $cos \alpha$.
Дано: $tg \alpha = \frac{5}{12}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в III четверти, где и синус, и косинус отрицательны.
$cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + tg^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (\frac{5}{12})^2} = \frac{1}{1 + \frac{25}{144}} = \frac{1}{\frac{144+25}{144}} = \frac{1}{\frac{169}{144}} = \frac{144}{169}$.
Поскольку $cos \alpha < 0$, получаем $cos \alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$.
Теперь найдем синус: $sin \alpha = tg \alpha \cdot cos \alpha = \frac{5}{12} \cdot (-\frac{12}{13}) = -\frac{5}{13}$.

2. Найдем $cos(2\beta)$ и $sin(2\beta)$.
Дано: $tg \beta = -\frac{3}{4}$.
$cos(2\beta) = \frac{1 - tg^2 \beta}{1 + tg^2 \beta} = \frac{1 - (-\frac{3}{4})^2}{1 + (-\frac{3}{4})^2} = \frac{1 - \frac{9}{16}}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{\frac{16-9}{16}}{\frac{16+9}{16}} = \frac{\frac{7}{16}}{\frac{25}{16}} = \frac{7}{25}$.
$sin(2\beta) = \frac{2 tg \beta}{1 + tg^2 \beta} = \frac{2 \cdot (-\frac{3}{4})}{1 + (-\frac{3}{4})^2} = \frac{-\frac{3}{2}}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{25}{16}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{25} = -\frac{24}{25}$.

3. Подставим все найденные значения в исходную формулу:
$cos(\alpha + 2\beta) = cos \alpha \cdot cos(2\beta) - sin \alpha \cdot sin(2\beta) = (-\frac{12}{13}) \cdot (\frac{7}{25}) - (-\frac{5}{13}) \cdot (-\frac{24}{25}) = -\frac{84}{325} - \frac{120}{325} = -\frac{204}{325}$.

Ответ: $-\frac{204}{325}$.