Страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Докажите, что если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника, то справедливо равенство (9.84–9.85):

9.84* a) $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \gamma$;

б) $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} + \operatorname{ctg} \frac{\beta}{2} + \operatorname{ctg} \frac{\gamma}{2} = \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \frac{\beta}{2} \operatorname{ctg} \frac{\gamma}{2}$.

а)

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами треугольника, их сумма равна $\pi$ радиан (180°). $$ \alpha + \beta + \gamma = \pi $$

Из этого соотношения выразим сумму двух углов через третий: $$ \alpha + \beta = \pi - \gamma $$

Возьмем тангенс от обеих частей равенства. Важно отметить, что данное тождество справедливо, если ни один из углов не является прямым (т.е. $\alpha, \beta, \gamma \neq \frac{\pi}{2}$), так как в противном случае тангенс одного из углов будет не определен. $$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \text{tg}(\pi - \gamma) $$

Применим формулу тангенса суммы $\text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg} A + \text{tg} B}{1 - \text{tg} A \text{tg} B}$ к левой части и формулу приведения $\text{tg}(\pi - C) = -\text{tg} C$ к правой части: $$ \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta} = -\text{tg} \gamma $$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta)$: $$ \text{tg} \alpha + \text{tg} \beta = -\text{tg} \gamma (1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta) $$

Раскроем скобки в правой части: $$ \text{tg} \alpha + \text{tg} \beta = -\text{tg} \gamma + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta \text{tg} \gamma $$

Перенесем член $-\text{tg} \gamma$ в левую часть, чтобы получить искомое равенство: $$ \text{tg} \alpha + \text{tg} \beta + \text{tg} \gamma = \text{tg} \alpha \text{tg} \beta \text{tg} \gamma $$

Ответ: Равенство доказано при условии, что ни один из углов треугольника не является прямым.

б)

Исходное условие: $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, следовательно, $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

Разделим обе части этого равенства на 2, так как в доказываемом тождестве используются половинные углы: $$ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} $$ Поскольку $0 < \alpha, \beta, \gamma < \pi$, то все половинные углы $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ являются острыми, то есть лежат в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$.

Выразим сумму двух половинных углов через третий: $$ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2} $$

Возьмем котангенс от обеих частей. Для острых углов все тригонометрические функции определены. $$ \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) $$

Используем формулу котангенса суммы $\text{ctg}(A+B) = \frac{\text{ctg} A \text{ctg} B - 1}{\text{ctg} A + \text{ctg} B}$ для левой части и формулу приведения $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - C) = \text{tg} C$ для правой: $$ \frac{\text{ctg} \frac{\alpha}{2} \text{ctg} \frac{\beta}{2} - 1}{\text{ctg} \frac{\alpha}{2} + \text{ctg} \frac{\beta}{2}} = \text{tg} \frac{\gamma}{2} $$

Так как $\frac{\gamma}{2}$ — острый угол, $\text{ctg} \frac{\gamma}{2}$ определен и не равен нулю. Поэтому можно заменить $\text{tg} \frac{\gamma}{2}$ на $\frac{1}{\text{ctg} \frac{\gamma}{2}}$: $$ \frac{\text{ctg} \frac{\alpha}{2} \text{ctg} \frac{\beta}{2} - 1}{\text{ctg} \frac{\alpha}{2} + \text{ctg} \frac{\beta}{2}} = \frac{1}{\text{ctg} \frac{\gamma}{2}} $$

Применив свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем: $$ \text{ctg} \frac{\gamma}{2} \left(\text{ctg} \frac{\alpha}{2} \text{ctg} \frac{\beta}{2} - 1\right) = \text{ctg} \frac{\alpha}{2} + \text{ctg} \frac{\beta}{2} $$

Раскроем скобки в левой части: $$ \text{ctg} \frac{\alpha}{2} \text{ctg} \frac{\beta}{2} \text{ctg} \frac{\gamma}{2} - \text{ctg} \frac{\gamma}{2} = \text{ctg} \frac{\alpha}{2} + \text{ctg} \frac{\beta}{2} $$

Наконец, перенесем член $-\text{ctg} \frac{\gamma}{2}$ в правую часть, чтобы получить искомое тождество: $$ \text{ctg} \frac{\alpha}{2} + \text{ctg} \frac{\beta}{2} + \text{ctg} \frac{\gamma}{2} = \text{ctg} \frac{\alpha}{2} \text{ctg} \frac{\beta}{2} \text{ctg} \frac{\gamma}{2} $$

Ответ: Равенство доказано для любого треугольника.

9.85* a) $ \cot \alpha \cot \beta + \cot \alpha \cot \gamma + \cot \beta \cot \gamma = 1; $

б) $ \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\gamma}{2} + \tan \frac{\beta}{2} \tan \frac{\gamma}{2} = 1. $

Хотя в условии задачи это не указано, подобные тождества обычно доказываются для углов треугольника. Предположим, что $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — это углы некоторого треугольника. В этом случае их сумма равна $\pi$ радиан (180°).

$\alpha + \beta + \gamma = \pi$

а) Требуется доказать тождество: $\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \beta + \text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \gamma + \text{ctg} \, \beta \, \text{ctg} \, \gamma = 1$.

Из условия, что $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, следует $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Выразим сумму двух углов через третий: $\alpha + \beta = \pi - \gamma$.

Найдем котангенс от обеих частей этого равенства: $\text{ctg}(\alpha + \beta) = \text{ctg}(\pi - \gamma)$.

Используем формулу котангенса суммы для левой части: $\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \beta - 1}{\text{ctg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta}$.

Используем формулу приведения для правой части: $\text{ctg}(\pi - \gamma) = -\text{ctg} \, \gamma$.

Приравняем полученные выражения: $\frac{\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \beta - 1}{\text{ctg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta} = -\text{ctg} \, \gamma$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(\text{ctg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta)$. (Это преобразование является равносильным, поскольку для углов треугольника $\alpha + \beta \neq \pi$, что означает $\text{ctg} \, \alpha \neq -\text{ctg} \, \beta$ и знаменатель не равен нулю). $\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \beta - 1 = -\text{ctg} \, \gamma (\text{ctg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta)$.

Раскроем скобки в правой части: $\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \beta - 1 = -\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \gamma - \text{ctg} \, \beta \, \text{ctg} \, \gamma$.

Перенесем слагаемые с отрицательными знаками из правой части в левую, а $-1$ — в правую, чтобы получить требуемое выражение: $\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \beta + \text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \gamma + \text{ctg} \, \beta \, \text{ctg} \, \gamma = 1$.

Тождество доказано.

Ответ: $\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \beta + \text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \gamma + \text{ctg} \, \beta \, \text{ctg} \, \gamma = 1$.

б) Требуется доказать тождество: $\text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2} + \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} = 1$.

Снова используем равенство $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Разделим обе части на 2: $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Выразим сумму двух половинных углов: $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.

Найдем тангенс от обеих частей полученного равенства: $\text{tg}(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2})$.

Применим формулу тангенса суммы для левой части: $\text{tg}(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) = \frac{\text{tg} \frac{\alpha}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2}}{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2}}$.

Применим формулу приведения для правой части: $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}) = \text{ctg} \frac{\gamma}{2}$.

Приравняем полученные выражения: $\frac{\text{tg} \frac{\alpha}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2}}{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2}} = \text{ctg} \frac{\gamma}{2}$.

Зная, что $\text{ctg} \, x = \frac{1}{\text{tg} \, x}$, перепишем правую часть: $\frac{\text{tg} \frac{\alpha}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2}}{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2}} = \frac{1}{\text{tg} \frac{\gamma}{2}}$.

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение). Так как $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, то $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ лежат в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, поэтому их тангенсы определены и положительны. Также $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} \neq \frac{\pi}{2}$, поэтому знаменатель $1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2}$ не равен нулю. $(\text{tg} \frac{\alpha}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2}) \text{tg} \frac{\gamma}{2} = 1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2}$.

Раскроем скобки в левой части: $\text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} = 1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2}$.

Перенесем слагаемое $-\text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2}$ из правой части в левую: $\text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2} + \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} = 1$.

Тождество доказано.

Ответ: $\text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2} + \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} = 1$.

9.86* Для углов $\alpha$, таких, что $\alpha \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$, докажите справедливость равенства

$\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{\operatorname{tg} \alpha (3 - \operatorname{tg}^2 \alpha)}{1 - 3 \operatorname{tg}^2 \alpha}$.

Для доказательства данного равенства преобразуем его левую часть, используя определение тангенса и формулы тригонометрии.

Начнем с определения тангенса тройного угла: $\text{tg}\,3\alpha = \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha}$.

Выразим $\sin 3\alpha$ и $\cos 3\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Для этого воспользуемся формулами сложения углов, представив $3\alpha$ как $2\alpha + \alpha$.

Для синуса:

$\sin 3\alpha = \sin(2\alpha + \alpha) = \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha$

Используя формулы двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, получим:

$\sin 3\alpha = (2\sin\alpha\cos\alpha)\cos\alpha + (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos^2\alpha + \sin\alpha\cos^2\alpha - \sin^3\alpha = 3\sin\alpha\cos^2\alpha - \sin^3\alpha$.

Аналогично для косинуса:

$\cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha$

$\cos 3\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)\cos\alpha - (2\sin\alpha\cos\alpha)\sin\alpha = \cos^3\alpha - \sin^2\alpha\cos\alpha - 2\sin^2\alpha\cos\alpha = \cos^3\alpha - 3\sin^2\alpha\cos\alpha$.

Теперь подставим полученные выражения для $\sin 3\alpha$ и $\cos 3\alpha$ в формулу для $\text{tg}\,3\alpha$:

$\text{tg}\,3\alpha = \frac{3\sin\alpha\cos^2\alpha - \sin^3\alpha}{\cos^3\alpha - 3\sin^2\alpha\cos\alpha}$.

Чтобы выразить правую часть через $\text{tg}\,\alpha$, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^3\alpha$. Это преобразование возможно, так как для существования $\text{tg}\,\alpha$ необходимо, чтобы $\cos\alpha \ne 0$.

$\text{tg}\,3\alpha = \frac{\frac{3\sin\alpha\cos^2\alpha - \sin^3\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{\cos^3\alpha - 3\sin^2\alpha\cos\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{\frac{3\sin\alpha\cos^2\alpha}{\cos^3\alpha} - \frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha} - \frac{3\sin^2\alpha\cos\alpha}{\cos^3\alpha}}$

После сокращения дробей и замены отношений синуса к косинусу на тангенс, получаем:

$\text{tg}\,3\alpha = \frac{3\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - (\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^3}{1 - 3(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2} = \frac{3\text{tg}\,\alpha - \text{tg}^3\alpha}{1 - 3\text{tg}^2\alpha}$.

Вынесем $\text{tg}\,\alpha$ в числителе за скобки, чтобы привести выражение к требуемому виду:

$\text{tg}\,3\alpha = \frac{\text{tg}\,\alpha(3 - \text{tg}^2\alpha)}{1 - 3\text{tg}^2\alpha}$.

Таким образом, мы доказали справедливость равенства. Заданное ограничение $\alpha \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$ при $n \in \mathbb{Z}$ обеспечивает корректность всех выполненных преобразований. В частности, оно гарантирует, что $\cos 3\alpha \ne 0$ (то есть $\text{tg}\,3\alpha$ существует) и что знаменатель $1 - 3\text{tg}^2\alpha$ не равен нулю.

Ответ: Равенство доказано.

9.87* Докажите справедливость равенства:

а) $ \text{tg } 40^\circ + \sqrt{3} = 4 \sin 40^\circ $;

б) $ \text{ctg } 70^\circ - \sqrt{3} = -4 \cos 70^\circ $.

а) Докажем справедливость равенства $\text{tg } 40^\circ + \sqrt{3} = 4 \sin 40^\circ$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Представим тангенс как отношение синуса к косинусу, а число $\sqrt{3}$ как тангенс угла $60^\circ$, то есть $\sqrt{3} = \text{tg } 60^\circ$.

$\text{tg } 40^\circ + \sqrt{3} = \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} + \text{tg } 60^\circ = \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} + \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos 40^\circ \cos 60^\circ$:

$\frac{\sin 40^\circ \cos 60^\circ + \cos 40^\circ \sin 60^\circ}{\cos 40^\circ \cos 60^\circ}$

В числителе дроби мы получили формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Применим её:

$\frac{\sin(40^\circ + 60^\circ)}{\cos 40^\circ \cos 60^\circ} = \frac{\sin 100^\circ}{\cos 40^\circ \cos 60^\circ}$

Мы знаем, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в знаменатель:

$\frac{\sin 100^\circ}{\cos 40^\circ \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2 \sin 100^\circ}{\cos 40^\circ}$

Теперь воспользуемся формулой приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$. Для угла $100^\circ$ имеем: $\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$.

$\frac{2 \sin 80^\circ}{\cos 40^\circ}$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для $\sin 80^\circ$:

$\sin 80^\circ = \sin(2 \cdot 40^\circ) = 2\sin 40^\circ \cos 40^\circ$

Подставим полученное выражение в нашу дробь:

$\frac{2 \cdot (2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ)}{\cos 40^\circ}$

Сократим $\cos 40^\circ$ в числителе и знаменателе:

$4 \sin 40^\circ$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем справедливость равенства $\text{ctg } 70^\circ - \sqrt{3} = -4 \cos 70^\circ$.

Преобразуем левую часть равенства. Представим котангенс как отношение косинуса к синусу, а число $\sqrt{3}$ как котангенс угла $30^\circ$, то есть $\sqrt{3} = \text{ctg } 30^\circ$.

$\text{ctg } 70^\circ - \sqrt{3} = \frac{\cos 70^\circ}{\sin 70^\circ} - \text{ctg } 30^\circ = \frac{\cos 70^\circ}{\sin 70^\circ} - \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\sin 70^\circ \sin 30^\circ$:

$\frac{\cos 70^\circ \sin 30^\circ - \sin 70^\circ \cos 30^\circ}{\sin 70^\circ \sin 30^\circ} = \frac{\sin 30^\circ \cos 70^\circ - \cos 30^\circ \sin 70^\circ}{\sin 70^\circ \sin 30^\circ}$

В числителе дроби мы получили формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$. Применим её:

$\frac{\sin(30^\circ - 70^\circ)}{\sin 70^\circ \sin 30^\circ} = \frac{\sin(-40^\circ)}{\sin 70^\circ \sin 30^\circ}$

Используем свойство нечетности функции синус $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и известное значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$:

$\frac{-\sin 40^\circ}{\sin 70^\circ \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-2 \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ}$

Применим формулу приведения $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$ к знаменателю: $\sin 70^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \cos 20^\circ$.

$\frac{-2 \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ}$

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ к числителю:

$\frac{-2 \cdot (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ)}{\cos 20^\circ}$

Сократим $\cos 20^\circ$ в числителе и знаменателе:

$-4 \sin 20^\circ$

Снова воспользуемся формулой приведения $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:

$\sin 20^\circ = \cos(90^\circ - 20^\circ) = \cos 70^\circ$

Подставив это, получаем:

$-4 \cos 70^\circ$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

9.88* Вычислите $\cos (\alpha + 2\beta)$, если:

a) $\text{tg } \alpha = \frac{3}{4}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\text{tg } \beta = -\frac{4}{3}$;

б) $\text{tg } \alpha = \frac{5}{12}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, $\text{tg } \beta = -\frac{3}{4}$.

а) Для вычисления $cos(\alpha + 2\beta)$ воспользуемся формулой косинуса суммы:
$cos(\alpha + 2\beta) = cos \alpha \cdot cos(2\beta) - sin \alpha \cdot sin(2\beta)$
Сначала найдем значения $cos \alpha$, $sin \alpha$, $cos(2\beta)$ и $sin(2\beta)$ из данных задачи.

1. Найдем $sin \alpha$ и $cos \alpha$.
Дано: $tg \alpha = \frac{3}{4}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в I четверти, где и синус, и косинус положительны.
Используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha}$.
$cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + tg^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{16+9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.
Поскольку $cos \alpha > 0$, получаем $cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
Теперь найдем синус: $sin \alpha = tg \alpha \cdot cos \alpha = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$.

2. Найдем $cos(2\beta)$ и $sin(2\beta)$.
Дано: $tg \beta = -\frac{4}{3}$. Для нахождения синуса и косинуса двойного угла воспользуемся формулами, выражающими их через тангенс одинарного угла:
$cos(2\beta) = \frac{1 - tg^2 \beta}{1 + tg^2 \beta} = \frac{1 - (-\frac{4}{3})^2}{1 + (-\frac{4}{3})^2} = \frac{1 - \frac{16}{9}}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{\frac{9-16}{9}}{\frac{9+16}{9}} = \frac{-\frac{7}{9}}{\frac{25}{9}} = -\frac{7}{25}$.
$sin(2\beta) = \frac{2 tg \beta}{1 + tg^2 \beta} = \frac{2 \cdot (-\frac{4}{3})}{1 + (-\frac{4}{3})^2} = \frac{-\frac{8}{3}}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{-\frac{8}{3}}{\frac{25}{9}} = -\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{25} = -\frac{24}{25}$.

3. Подставим все найденные значения в исходную формулу:
$cos(\alpha + 2\beta) = cos \alpha \cdot cos(2\beta) - sin \alpha \cdot sin(2\beta) = (\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{7}{25}) - (\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{24}{25}) = -\frac{28}{125} - (-\frac{72}{125}) = -\frac{28}{125} + \frac{72}{125} = \frac{44}{125}$.

Ответ: $\frac{44}{125}$.

б) Решение аналогично предыдущему пункту. Используем ту же формулу: $cos(\alpha + 2\beta) = cos \alpha \cdot cos(2\beta) - sin \alpha \cdot sin(2\beta)$.

1. Найдем $sin \alpha$ и $cos \alpha$.
Дано: $tg \alpha = \frac{5}{12}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в III четверти, где и синус, и косинус отрицательны.
$cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + tg^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (\frac{5}{12})^2} = \frac{1}{1 + \frac{25}{144}} = \frac{1}{\frac{144+25}{144}} = \frac{1}{\frac{169}{144}} = \frac{144}{169}$.
Поскольку $cos \alpha < 0$, получаем $cos \alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$.
Теперь найдем синус: $sin \alpha = tg \alpha \cdot cos \alpha = \frac{5}{12} \cdot (-\frac{12}{13}) = -\frac{5}{13}$.

2. Найдем $cos(2\beta)$ и $sin(2\beta)$.
Дано: $tg \beta = -\frac{3}{4}$.
$cos(2\beta) = \frac{1 - tg^2 \beta}{1 + tg^2 \beta} = \frac{1 - (-\frac{3}{4})^2}{1 + (-\frac{3}{4})^2} = \frac{1 - \frac{9}{16}}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{\frac{16-9}{16}}{\frac{16+9}{16}} = \frac{\frac{7}{16}}{\frac{25}{16}} = \frac{7}{25}$.
$sin(2\beta) = \frac{2 tg \beta}{1 + tg^2 \beta} = \frac{2 \cdot (-\frac{3}{4})}{1 + (-\frac{3}{4})^2} = \frac{-\frac{3}{2}}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{25}{16}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{25} = -\frac{24}{25}$.

3. Подставим все найденные значения в исходную формулу:
$cos(\alpha + 2\beta) = cos \alpha \cdot cos(2\beta) - sin \alpha \cdot sin(2\beta) = (-\frac{12}{13}) \cdot (\frac{7}{25}) - (-\frac{5}{13}) \cdot (-\frac{24}{25}) = -\frac{84}{325} - \frac{120}{325} = -\frac{204}{325}$.

Ответ: $-\frac{204}{325}$.