Номер 9.85, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.7*. Формулы для тангенсов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.85, страница 280.

9.85* a) $ \cot \alpha \cot \beta + \cot \alpha \cot \gamma + \cot \beta \cot \gamma = 1; $

б) $ \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\gamma}{2} + \tan \frac{\beta}{2} \tan \frac{\gamma}{2} = 1. $

Хотя в условии задачи это не указано, подобные тождества обычно доказываются для углов треугольника. Предположим, что $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — это углы некоторого треугольника. В этом случае их сумма равна $\pi$ радиан (180°).

$\alpha + \beta + \gamma = \pi$

а) Требуется доказать тождество: $\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \beta + \text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \gamma + \text{ctg} \, \beta \, \text{ctg} \, \gamma = 1$.

Из условия, что $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, следует $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Выразим сумму двух углов через третий: $\alpha + \beta = \pi - \gamma$.

Найдем котангенс от обеих частей этого равенства: $\text{ctg}(\alpha + \beta) = \text{ctg}(\pi - \gamma)$.

Используем формулу котангенса суммы для левой части: $\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \beta - 1}{\text{ctg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta}$.

Используем формулу приведения для правой части: $\text{ctg}(\pi - \gamma) = -\text{ctg} \, \gamma$.

Приравняем полученные выражения: $\frac{\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \beta - 1}{\text{ctg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta} = -\text{ctg} \, \gamma$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(\text{ctg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta)$. (Это преобразование является равносильным, поскольку для углов треугольника $\alpha + \beta \neq \pi$, что означает $\text{ctg} \, \alpha \neq -\text{ctg} \, \beta$ и знаменатель не равен нулю). $\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \beta - 1 = -\text{ctg} \, \gamma (\text{ctg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta)$.

Раскроем скобки в правой части: $\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \beta - 1 = -\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \gamma - \text{ctg} \, \beta \, \text{ctg} \, \gamma$.

Перенесем слагаемые с отрицательными знаками из правой части в левую, а $-1$ — в правую, чтобы получить требуемое выражение: $\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \beta + \text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \gamma + \text{ctg} \, \beta \, \text{ctg} \, \gamma = 1$.

Тождество доказано.

Ответ: $\text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \beta + \text{ctg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \gamma + \text{ctg} \, \beta \, \text{ctg} \, \gamma = 1$.

б) Требуется доказать тождество: $\text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2} + \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} = 1$.

Снова используем равенство $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Разделим обе части на 2: $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Выразим сумму двух половинных углов: $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.

Найдем тангенс от обеих частей полученного равенства: $\text{tg}(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2})$.

Применим формулу тангенса суммы для левой части: $\text{tg}(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) = \frac{\text{tg} \frac{\alpha}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2}}{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2}}$.

Применим формулу приведения для правой части: $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}) = \text{ctg} \frac{\gamma}{2}$.

Приравняем полученные выражения: $\frac{\text{tg} \frac{\alpha}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2}}{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2}} = \text{ctg} \frac{\gamma}{2}$.

Зная, что $\text{ctg} \, x = \frac{1}{\text{tg} \, x}$, перепишем правую часть: $\frac{\text{tg} \frac{\alpha}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2}}{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2}} = \frac{1}{\text{tg} \frac{\gamma}{2}}$.

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение). Так как $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, то $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ лежат в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, поэтому их тангенсы определены и положительны. Также $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} \neq \frac{\pi}{2}$, поэтому знаменатель $1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2}$ не равен нулю. $(\text{tg} \frac{\alpha}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2}) \text{tg} \frac{\gamma}{2} = 1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2}$.

Раскроем скобки в левой части: $\text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} = 1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2}$.

Перенесем слагаемое $-\text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2}$ из правой части в левую: $\text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2} + \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} = 1$.

Тождество доказано.

Ответ: $\text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\beta}{2} + \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} + \text{tg} \frac{\beta}{2} \text{tg} \frac{\gamma}{2} = 1$.