Номер 9.80, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.7*. Формулы для тангенсов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.80, страница 279.

9.80 Докажите справедливость равенства:

а) $ \frac{1}{1 - \text{tg } \alpha} - \frac{1}{1 + \text{tg } \alpha} = \text{tg } 2\alpha; $

б) $ \frac{\text{tg } \alpha}{1 - \text{tg } \alpha} + \frac{\text{tg } \alpha}{1 + \text{tg } \alpha} = \text{tg } 2\alpha, $

если $ \alpha \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $, $ k \in \mathbb{Z} $, $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

а)

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \operatorname{tg} \alpha)(1 + \operatorname{tg} \alpha)$. Используя формулу разности квадратов, получим знаменатель $1 - \operatorname{tg}^2 \alpha$.

$ \frac{1}{1 - \operatorname{tg} \alpha} - \frac{1}{1 + \operatorname{tg} \alpha} = \frac{1 \cdot (1 + \operatorname{tg} \alpha) - 1 \cdot (1 - \operatorname{tg} \alpha)}{(1 - \operatorname{tg} \alpha)(1 + \operatorname{tg} \alpha)} $

Теперь упростим числитель получившейся дроби:

$ \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha - 1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} $

Полученное выражение является формулой тангенса двойного угла:

$ \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} $

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна его правой части. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства второго равенства также преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \operatorname{tg} \alpha)(1 + \operatorname{tg} \alpha) = 1 - \operatorname{tg}^2 \alpha$.

$ \frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha} + \frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} = \frac{\operatorname{tg} \alpha (1 + \operatorname{tg} \alpha) + \operatorname{tg} \alpha (1 - \operatorname{tg} \alpha)}{(1 - \operatorname{tg} \alpha)(1 + \operatorname{tg} \alpha)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} $

Полученное выражение также является формулой тангенса двойного угла:

$ \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} $

Следовательно, левая часть исходного равенства тождественно равна его правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.