Номер 9.75, страница 278 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.7*. Формулы для тангенсов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.75, страница 278.

9.75 a) $ \frac{\operatorname{tg} 39^\circ + \operatorname{tg} 6^\circ}{1 - \operatorname{tg} 39^\circ \operatorname{tg} 6^\circ}; $

б) $ \frac{\operatorname{tg} 72^\circ - \operatorname{tg} 12^\circ}{1 + \operatorname{tg} 72^\circ \operatorname{tg} 12^\circ}; $

В) $ \frac{\operatorname{tg} 37^\circ + \operatorname{tg} 23^\circ}{1 - \operatorname{tg} 37^\circ \operatorname{tg} 23^\circ}; $

Г) $ \frac{\operatorname{tg} 54^\circ - \operatorname{tg} 24^\circ}{1 + \operatorname{tg} 54^\circ \operatorname{tg} 24^\circ}. $

а) Для решения этого примера используется формула тангенса суммы углов: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.

Подставим в формулу значения из нашего выражения, где $\alpha = 39^\circ$ и $\beta = 6^\circ$.

$\frac{\text{tg } 39^\circ + \text{tg } 6^\circ}{1 - \text{tg } 39^\circ \text{ tg } 6^\circ} = \text{tg}(39^\circ + 6^\circ) = \text{tg}(45^\circ)$.

Мы знаем, что тангенс 45 градусов равен 1.

Ответ: $1$

б) В этом примере применяется формула тангенса разности углов: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.

Подставим значения, где $\alpha = 72^\circ$ и $\beta = 12^\circ$.

$\frac{\text{tg } 72^\circ - \text{tg } 12^\circ}{1 + \text{tg } 72^\circ \text{ tg } 12^\circ} = \text{tg}(72^\circ - 12^\circ) = \text{tg}(60^\circ)$.

Значение тангенса 60 градусов является табличным и равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

в) Снова используем формулу тангенса суммы углов: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.

В данном случае $\alpha = 37^\circ$ и $\beta = 23^\circ$.

$\frac{\text{tg } 37^\circ + \text{tg } 23^\circ}{1 - \text{tg } 37^\circ \text{ tg } 23^\circ} = \text{tg}(37^\circ + 23^\circ) = \text{tg}(60^\circ)$.

Как и в предыдущем примере, тангенс 60 градусов равен $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

г) Здесь вновь используется формула тангенса разности углов: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.

Подставляем значения, где $\alpha = 54^\circ$ и $\beta = 24^\circ$.

$\frac{\text{tg } 54^\circ - \text{tg } 24^\circ}{1 + \text{tg } 54^\circ \text{ tg } 24^\circ} = \text{tg}(54^\circ - 24^\circ) = \text{tg}(30^\circ)$.

Табличное значение тангенса 30 градусов равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$