Номер 9.73, страница 278 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.7*. Формулы для тангенсов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.73, страница 278.

Вычислите (9.73-9.75):

9.73 а) $ \operatorname{tg} (60^\circ + 45^\circ) $; б) $ \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) $; в) $ \operatorname{tg} (60^\circ - 45^\circ) $; г) $ \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) $.

а) Для вычисления $ \tg(60^\circ + 45^\circ) $ воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta} $.

В нашем случае $ \alpha = 60^\circ $ и $ \beta = 45^\circ $. Известны табличные значения тангенсов: $ \tg(60^\circ) = \sqrt{3} $ и $ \tg(45^\circ) = 1 $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \tg(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tg(60^\circ) + \tg(45^\circ)}{1 - \tg(60^\circ) \tg(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} $.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ (1 + \sqrt{3}) $:

$ \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -\frac{2(2 + \sqrt{3})}{2} = -(2 + \sqrt{3}) = -2 - \sqrt{3} $.

Ответ: $ -2 - \sqrt{3} $.

б) Для вычисления $ \tg(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) $ используем ту же формулу тангенса суммы: $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta} $.

Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{6} $ и $ \beta = \frac{\pi}{4} $. Известны табличные значения: $ \tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $ и $ \tg(\frac{\pi}{4}) = 1 $.

Подставляем значения:

$ \tg(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tg(\frac{\pi}{6}) + \tg(\frac{\pi}{4})}{1 - \tg(\frac{\pi}{6}) \tg(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} $.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на сопряженное выражение $ (3 + \sqrt{3}) $:

$ \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = \frac{6(2 + \sqrt{3})}{6} = 2 + \sqrt{3} $.

Ответ: $ 2 + \sqrt{3} $.

в) Для вычисления $ \tg(60^\circ - 45^\circ) $ воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta} $.

В данном случае $ \alpha = 60^\circ $ и $ \beta = 45^\circ $. Знаем, что $ \tg(60^\circ) = \sqrt{3} $ и $ \tg(45^\circ) = 1 $.

Подставим значения в формулу:

$ \tg(60^\circ - 45^\circ) = \frac{\tg(60^\circ) - \tg(45^\circ)}{1 + \tg(60^\circ) \tg(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} $.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{3} - 1) $:

$ \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{2} = 2 - \sqrt{3} $.

Ответ: $ 2 - \sqrt{3} $.

г) Для вычисления $ \tg(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) $ используем ту же формулу тангенса разности: $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta} $.

Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{4} $ и $ \beta = \frac{\pi}{6} $. Знаем, что $ \tg(\frac{\pi}{4}) = 1 $ и $ \tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Подставляем значения:

$ \tg(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\tg(\frac{\pi}{4}) - \tg(\frac{\pi}{6})}{1 + \tg(\frac{\pi}{4}) \tg(\frac{\pi}{6})} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} $.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на сопряженное выражение $ (3 - \sqrt{3}) $:

$ \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = \frac{6(2 - \sqrt{3})}{6} = 2 - \sqrt{3} $.

Ответ: $ 2 - \sqrt{3} $.