Номер 9.76, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.7*. Формулы для тангенсов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.76, страница 279.

9.76 При каких значениях $\alpha$ верно равенство:

a) $\text{tg } (45^{\circ} + \alpha) = \frac{1 + \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg } \alpha}$;

б) $\text{tg } (45^{\circ} - \alpha) = \frac{1 - \text{tg } \alpha}{1 + \text{tg } \alpha}$?

а) Чтобы определить, при каких значениях $\alpha$ верно равенство $\text{tg}(45^\circ + \alpha) = \frac{1 + \text{tg}\,\alpha}{1 - \text{tg}\,\alpha}$, необходимо найти область определения (ОДЗ) для обеих частей уравнения. Данное равенство является тригонометрическим тождеством, поэтому оно будет верно для всех значений $\alpha$, для которых обе его части имеют смысл.

1. Найдем ОДЗ для левой части: $\text{tg}(45^\circ + \alpha)$.
Функция тангенса $\text{tg}\,x$ определена, если ее аргумент $x \neq 90^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, для $\text{tg}(45^\circ + \alpha)$ должно выполняться условие:
$45^\circ + \alpha \neq 90^\circ + 180^\circ n$
$\alpha \neq 90^\circ - 45^\circ + 180^\circ n$
$\alpha \neq 45^\circ + 180^\circ n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем ОДЗ для правой части: $\frac{1 + \text{tg}\,\alpha}{1 - \text{tg}\,\alpha}$.
Для этого выражения должны выполняться два условия:
а) Должен существовать $\text{tg}\,\alpha$. Это верно, если $\alpha \neq 90^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $1 - \text{tg}\,\alpha \neq 0$. Это означает, что $\text{tg}\,\alpha \neq 1$. Это верно, если $\alpha \neq 45^\circ + 180^\circ m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединив все найденные ограничения, получаем, что исходное равенство верно при всех значениях $\alpha$, удовлетворяющих условиям:
$\alpha \neq 45^\circ + 180^\circ n$
$\alpha \neq 90^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим само тождество, используя формулу тангенса суммы $\text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg}\,x + \text{tg}\,y}{1 - \text{tg}\,x \cdot \text{tg}\,y}$:
$\text{tg}(45^\circ + \alpha) = \frac{\text{tg}\,45^\circ + \text{tg}\,\alpha}{1 - \text{tg}\,45^\circ \cdot \text{tg}\,\alpha}$
Так как $\text{tg}\,45^\circ = 1$, подставляем это значение в формулу:
$\text{tg}(45^\circ + \alpha) = \frac{1 + \text{tg}\,\alpha}{1 - 1 \cdot \text{tg}\,\alpha} = \frac{1 + \text{tg}\,\alpha}{1 - \text{tg}\,\alpha}$
Это подтверждает, что равенство является тождеством и верно на всей своей области определения.

Ответ: равенство верно при всех значениях $\alpha$, кроме $\alpha = 45^\circ + 180^\circ n$ и $\alpha = 90^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Рассмотрим равенство $\text{tg}(45^\circ - \alpha) = \frac{1 - \text{tg}\,\alpha}{1 + \text{tg}\,\alpha}$. Это формула тангенса разности, и она верна для всех значений $\alpha$, при которых обе части выражения определены. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Найдем ОДЗ для левой части: $\text{tg}(45^\circ - \alpha)$.
Аргумент тангенса не должен быть равен $90^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$45^\circ - \alpha \neq 90^\circ + 180^\circ n$
$-\alpha \neq 45^\circ + 180^\circ n$
$\alpha \neq -45^\circ - 180^\circ n$. Поскольку $n$ может быть любым целым числом, то и $-n$ может быть любым целым числом. Заменим $-n$ на $k$:
$\alpha \neq -45^\circ + 180^\circ k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем ОДЗ для правой части: $\frac{1 - \text{tg}\,\alpha}{1 + \text{tg}\,\alpha}$.
а) Должен существовать $\text{tg}\,\alpha$, что означает $\alpha \neq 90^\circ + 180^\circ m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
б) Знаменатель не должен быть равен нулю: $1 + \text{tg}\,\alpha \neq 0$, что означает $\text{tg}\,\alpha \neq -1$. Это верно, если $\alpha \neq -45^\circ + 180^\circ p$, где $p \in \mathbb{Z}$.

Объединив все ограничения, получаем, что равенство верно при всех значениях $\alpha$, удовлетворяющих условиям:
$\alpha \neq -45^\circ + 180^\circ k$
$\alpha \neq 90^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим само тождество, используя формулу тангенса разности $\text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg}\,x - \text{tg}\,y}{1 + \text{tg}\,x \cdot \text{tg}\,y}$:
$\text{tg}(45^\circ - \alpha) = \frac{\text{tg}\,45^\circ - \text{tg}\,\alpha}{1 + \text{tg}\,45^\circ \cdot \text{tg}\,\alpha}$
Так как $\text{tg}\,45^\circ = 1$, получаем:
$\text{tg}(45^\circ - \alpha) = \frac{1 - \text{tg}\,\alpha}{1 + 1 \cdot \text{tg}\,\alpha} = \frac{1 - \text{tg}\,\alpha}{1 + \text{tg}\,\alpha}$
Равенство подтверждено и верно на всей своей области определения.

Ответ: равенство верно при всех значениях $\alpha$, кроме $\alpha = -45^\circ + 180^\circ k$ и $\alpha = 90^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.