Номер 9.74, страница 278 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.7*. Формулы для тангенсов - номер 9.74, страница 278.

Условие.

9.74 $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$ и $\operatorname{tg}(\alpha - \beta)$, если $\operatorname{tg} \alpha = \frac{5}{3}$, $\operatorname{tg} \beta = \frac{2}{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи используются формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов. Нам даны следующие значения:

$ \tg \alpha = \frac{5}{3} $

$ \tg \beta = \frac{2}{5} $

$ \tg(\alpha + \beta) $

Формула тангенса суммы углов имеет вид:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta} $

Подставим известные значения в эту формулу:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{5}{3} + \frac{2}{5}}{1 - \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5}} $

Выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим числитель:

$ \frac{5}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 5}{15} + \frac{2 \cdot 3}{15} = \frac{25 + 6}{15} = \frac{31}{15} $

Теперь вычислим знаменатель:

$ 1 - \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} = 1 - \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 5} = 1 - \frac{10}{15} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $

Наконец, разделим числитель на знаменатель, чтобы найти значение $ \tg(\alpha + \beta) $:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{31}{15}}{\frac{1}{3}} = \frac{31}{15} \cdot \frac{3}{1} = \frac{31 \cdot 3}{15} = \frac{31}{5} $

Ответ: $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{31}{5} $.

$ \tg(\alpha - \beta) $

Формула тангенса разности углов имеет вид:

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \cdot \tg \beta} $

Подставим известные значения в эту формулу:

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{5}{3} - \frac{2}{5}}{1 + \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5}} $

Выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим числитель:

$ \frac{5}{3} - \frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 5}{15} - \frac{2 \cdot 3}{15} = \frac{25 - 6}{15} = \frac{19}{15} $

Теперь вычислим знаменатель:

$ 1 + \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} = 1 + \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 5} = 1 + \frac{10}{15} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} $

Наконец, разделим числитель на знаменатель, чтобы найти значение $ \tg(\alpha - \beta) $:

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{3}} = \frac{19}{15} \cdot \frac{3}{5} = \frac{19 \cdot 3}{15 \cdot 5} = \frac{19}{5 \cdot 5} = \frac{19}{25} $

Ответ: $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{19}{25} $.