Номер 9.72, страница 278 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.7*. Формулы для тангенсов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.72, страница 278.

9.72 Докажите:

а) теорему 2;

б) теорему 6.

а) теорему 2

Формулировка теоремы: Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

Доказательство:

Пусть дана прямая призма с высотой $h$ и основанием, площадь которого равна $S$. Докажем, что ее объем $V$ вычисляется по формуле $V = S \cdot h$.

1. Сначала докажем теорему для прямой призмы, у которой основанием является треугольник. Любой треугольник можно разбить на два прямоугольных треугольника, проведя в нем высоту. (В случае тупоугольного треугольника его площадь можно представить как разность площадей двух прямоугольных треугольников). Следовательно, для доказательства утверждения для произвольной треугольной призмы достаточно доказать его для призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник.

Рассмотрим прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник. Достроим эту призму до прямоугольного параллелепипеда, «приставив» к ней такую же призму, симметричную относительно плоскости, проходящей через гипотенузу. Объем этого параллелепипеда равен произведению площади его основания (прямоугольника) на высоту. Площадь основания параллелепипеда в два раза больше площади основания исходной призмы, а высота та же. Объем исходной призмы равен половине объема достроенного параллелепипеда. Таким образом, объем прямой призмы с прямоугольным треугольником в основании равен произведению площади ее основания на высоту.

Так как объем призмы с основанием, составленным из двух треугольников, равен сумме объемов призм с этими треугольниками в основании, а площадь основания равна сумме их площадей, то формула верна для любой прямой треугольной призмы.

2. Теперь рассмотрим произвольную прямую призму. Ее основание — многоугольник. Любой многоугольник можно разбить на конечное число треугольников. Например, проведя все диагонали из одной вершины. Пусть основание призмы разбито на $k$ треугольников $T_1, T_2, \ldots, T_k$.

Площадь основания призмы $S$ равна сумме площадей этих треугольников: $S = S_1 + S_2 + \ldots + S_k$, где $S_i$ — площадь треугольника $T_i$.

Эта триангуляция основания разбивает исходную призму на $k$ прямых треугольных призм, высота каждой из которых равна $h$. Объем исходной призмы $V$ равен сумме объемов этих треугольных призм $V_1, V_2, \ldots, V_k$.

Как мы доказали в пункте 1, объем каждой треугольной призмы $V_i$ равен $S_i \cdot h$.

Тогда объем исходной призмы:

$V = V_1 + V_2 + \ldots + V_k = S_1 \cdot h + S_2 \cdot h + \ldots + S_k \cdot h = (S_1 + S_2 + \ldots + S_k) \cdot h = S \cdot h$.

Теорема доказана.

Ответ: Доказано, что объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

б) теорему 6

Формулировка теоремы: Объем шара радиуса $R$ равен $\frac{4}{3}\pi R^3$.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим полушар радиуса $R$. Его объем равен половине объема всего шара. Поместим этот полушар основанием на плоскость $\alpha$.

Рассмотрим также вспомогательное тело: цилиндр, радиус основания и высота которого равны $R$. Из этого цилиндра вырежем конус, вершина которого совпадает с центром нижнего основания цилиндра, а основание конуса совпадает с верхним основанием цилиндра. Поставим это тело (цилиндр с вырезанным конусом) на ту же плоскость $\alpha$.

Согласно принципу Кавальери, если площади сечений двух тел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, равны, то объемы этих тел равны.

Рассмотрим сечение обоих тел плоскостью $\beta$, параллельной плоскости $\alpha$ и находящейся на расстоянии $z$ от нее (где $0 \le z \le R$).

1. Найдем площадь сечения полушара.

Сечение полушара плоскостью $\beta$ представляет собой круг. Пусть его радиус равен $r_1$. Из прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является радиус шара $R$, а катетами — расстояние $z$ и радиус сечения $r_1$, по теореме Пифагора имеем: $R^2 = z^2 + r_1^2$. Отсюда $r_1^2 = R^2 - z^2$.

Площадь этого сечения $S_1$ равна: $S_1 = \pi r_1^2 = \pi (R^2 - z^2)$.

2. Найдем площадь сечения вспомогательного тела.

Сечение цилиндра плоскостью $\beta$ — это круг радиуса $R$. Его площадь равна $\pi R^2$.

Сечение конуса плоскостью $\beta$ — это круг. Пусть его радиус равен $r_2$. Из подобия треугольников (в осевом сечении конуса) следует, что $\frac{r_2}{z} = \frac{R}{R}$, то есть $r_2 = z$.

Площадь этого сечения равна $\pi r_2^2 = \pi z^2$.

Сечение вспомогательного тела представляет собой кольцо. Его площадь $S_2$ равна разности площадей сечения цилиндра и сечения конуса:

$S_2 = \pi R^2 - \pi z^2 = \pi (R^2 - z^2)$.

3. Применение принципа Кавальери.

Мы видим, что для любого $z$ от $0$ до $R$ площади сечений $S_1$ и $S_2$ равны. Следовательно, по принципу Кавальери, объемы полушара и вспомогательного тела равны.

$V_{\text{полушара}} = V_{\text{вспом. тела}}$.

4. Вычисление объема.

Объем вспомогательного тела равен разности объемов цилиндра и конуса.

Объем цилиндра: $V_{\text{цил}} = S_{\text{осн}} \cdot H = \pi R^2 \cdot R = \pi R^3$.

Объем конуса: $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3}\pi R^3$.

Объем вспомогательного тела: $V_{\text{вспом. тела}} = V_{\text{цил}} - V_{\text{кон}} = \pi R^3 - \frac{1}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$.

Следовательно, объем полушара также равен $\frac{2}{3}\pi R^3$.

Объем всего шара $V_{\text{шара}}$ в два раза больше объема полушара:

$V_{\text{шара}} = 2 \cdot V_{\text{полушара}} = 2 \cdot \frac{2}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Теорема доказана.

Ответ: Доказано, что объем шара радиуса $R$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.