Номер 9.77, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.7*. Формулы для тангенсов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.77, страница 279.

9.77 a) Известно, что $ \text{tg } \alpha = \frac{1}{5} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ \text{tg } \beta = -\frac{3}{2} $, $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi. $

Докажите, что $ \alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}. $

б) Известно, что $ \text{tg } \alpha = \frac{7}{3} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ \text{tg } \beta = -0.4 $, $ -\frac{\pi}{2} < \beta < 0. $

Докажите, что $ \alpha + \beta = \frac{\pi}{4}. $

а)

Для доказательства равенства воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\,\alpha + tg\,\beta}{1 - tg\,\alpha \cdot tg\,\beta}$

Из условия нам известны значения тангенсов: $tg\,\alpha = \frac{1}{5}$ и $tg\,\beta = -\frac{3}{2}$. Подставим эти значения в формулу: $tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{5} + (-\frac{3}{2})}{1 - \frac{1}{5} \cdot (-\frac{3}{2})} = \frac{\frac{2 - 15}{10}}{1 + \frac{3}{10}} = \frac{-\frac{13}{10}}{\frac{10}{10} + \frac{3}{10}} = \frac{-\frac{13}{10}}{\frac{13}{10}} = -1$

Теперь необходимо определить, в какой четверти лежит угол $\alpha + \beta$. По условию даны следующие ограничения на углы $\alpha$ и $\beta$: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (первая четверть) $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ (вторая четверть)

Сложим левые и правые части этих неравенств, чтобы найти диапазон для суммы $\alpha + \beta$: $0 + \frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} + \pi$ $\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{3\pi}{2}$

Итак, мы знаем, что $tg(\alpha + \beta) = -1$ и угол $\alpha + \beta$ находится в интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, то есть во второй или третьей четверти. Тангенс равен $-1$ (отрицателен) во второй и четвертой четвертях. Единственная четверть, которая удовлетворяет обоим условиям — это вторая четверть.

Общее решение уравнения $tg(x) = -1$ имеет вид $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — целое число. Из всех решений нам нужно выбрать то, которое попадает в интервал $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Этому условию удовлетворяет только значение при $k=0$, то есть $\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Как и в предыдущем пункте, используем формулу тангенса суммы: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\,\alpha + tg\,\beta}{1 - tg\,\alpha \cdot tg\,\beta}$

Нам даны $tg\,\alpha = \frac{7}{3}$ и $tg\,\beta = -0,4$. Представим $-0,4$ в виде обыкновенной дроби: $-0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$. Подставим значения в формулу: $tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{7}{3} + (-\frac{2}{5})}{1 - \frac{7}{3} \cdot (-\frac{2}{5})} = \frac{\frac{35 - 6}{15}}{1 + \frac{14}{15}} = \frac{\frac{29}{15}}{\frac{15}{15} + \frac{14}{15}} = \frac{\frac{29}{15}}{\frac{29}{15}} = 1$

Теперь определим, в какой четверти лежит угол $\alpha + \beta$. По условию: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (первая четверть) $-\frac{\pi}{2} < \beta < 0$ (четвертая четверть)

Сложим неравенства, чтобы найти интервал для суммы $\alpha + \beta$: $0 - \frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} + 0$ $-\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$

Мы получили, что $tg(\alpha + \beta) = 1$ и угол $\alpha + \beta$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то есть в первой или четвертой четверти. Тангенс равен $1$ (положителен) в первой и третьей четвертях. Единственная четверть, удовлетворяющая обоим условиям — это первая четверть.

Общее решение уравнения $tg(x) = 1$ имеет вид $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — целое число. Из всех решений нам нужно выбрать то, которое попадает в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Этому условию удовлетворяет только значение при $k=0$, то есть $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.