Номер 9.82, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.7*. Формулы для тангенсов - номер 9.82, страница 279.

Условие.

Вычислите (9.82–9.83):

9.82

a) $tg \frac{\pi}{8}$;

б) $tg \frac{\pi}{12}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для вычисления значения $tg \frac{\pi}{8}$ можно использовать формулу тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.

Пусть $\alpha = \frac{\pi}{8}$, тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$. Мы знаем, что $tg \frac{\pi}{4} = 1$.

Обозначим искомое значение $tg \frac{\pi}{8}$ через $x$. Подставим все в формулу: $tg \frac{\pi}{4} = \frac{2tg\frac{\pi}{8}}{1 - tg^2\frac{\pi}{8}}$ $1 = \frac{2x}{1 - x^2}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$: $1 - x^2 = 2x$ $x^2 + 2x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, используя формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$ $x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

Мы получили два возможных значения для $x$: $x_1 = -1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{2}$.

Угол $\frac{\pi}{8}$ находится в первой координатной четверти ($0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$), а тангенс угла в первой четверти всегда положителен. Значение $x_1 = \sqrt{2} - 1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$ является положительным. Значение $x_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -1 - 1.414 = -2.414$ является отрицательным. Следовательно, нам подходит только положительный корень.

Ответ: $\sqrt{2}-1$

б)

Для вычисления значения $tg \frac{\pi}{12}$ представим угол $\frac{\pi}{12}$ в виде разности двух углов, тангенсы которых нам известны. Например: $\frac{\pi}{12} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$

Воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha \cdot tg\beta}$

Подставим $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$. Значения тангенсов для этих углов: $tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ и $tg \frac{\pi}{4} = 1$. $tg \frac{\pi}{12} = tg(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \frac{tg\frac{\pi}{3} - tg\frac{\pi}{4}}{1 + tg\frac{\pi}{3} \cdot tg\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

Упростим полученное выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{3} - 1)$: $tg \frac{\pi}{12} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$

В числителе используем формулу квадрата разности, а в знаменателе — формулу разности квадратов: Числитель: $(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$ Знаменатель: $(\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$

Подставим обратно и выполним деление: $tg \frac{\pi}{12} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Ответ: $2 - \sqrt{3}$