Номер 9.84, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.7*. Формулы для тангенсов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.84, страница 280.

Докажите, что если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника, то справедливо равенство (9.84–9.85):

9.84* a) $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \gamma$;

б) $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} + \operatorname{ctg} \frac{\beta}{2} + \operatorname{ctg} \frac{\gamma}{2} = \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \frac{\beta}{2} \operatorname{ctg} \frac{\gamma}{2}$.

а)

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами треугольника, их сумма равна $\pi$ радиан (180°). $$ \alpha + \beta + \gamma = \pi $$

Из этого соотношения выразим сумму двух углов через третий: $$ \alpha + \beta = \pi - \gamma $$

Возьмем тангенс от обеих частей равенства. Важно отметить, что данное тождество справедливо, если ни один из углов не является прямым (т.е. $\alpha, \beta, \gamma \neq \frac{\pi}{2}$), так как в противном случае тангенс одного из углов будет не определен. $$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \text{tg}(\pi - \gamma) $$

Применим формулу тангенса суммы $\text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg} A + \text{tg} B}{1 - \text{tg} A \text{tg} B}$ к левой части и формулу приведения $\text{tg}(\pi - C) = -\text{tg} C$ к правой части: $$ \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta} = -\text{tg} \gamma $$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta)$: $$ \text{tg} \alpha + \text{tg} \beta = -\text{tg} \gamma (1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta) $$

Раскроем скобки в правой части: $$ \text{tg} \alpha + \text{tg} \beta = -\text{tg} \gamma + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta \text{tg} \gamma $$

Перенесем член $-\text{tg} \gamma$ в левую часть, чтобы получить искомое равенство: $$ \text{tg} \alpha + \text{tg} \beta + \text{tg} \gamma = \text{tg} \alpha \text{tg} \beta \text{tg} \gamma $$

Ответ: Равенство доказано при условии, что ни один из углов треугольника не является прямым.

б)

Исходное условие: $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, следовательно, $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

Разделим обе части этого равенства на 2, так как в доказываемом тождестве используются половинные углы: $$ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} $$ Поскольку $0 < \alpha, \beta, \gamma < \pi$, то все половинные углы $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ являются острыми, то есть лежат в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$.

Выразим сумму двух половинных углов через третий: $$ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2} $$

Возьмем котангенс от обеих частей. Для острых углов все тригонометрические функции определены. $$ \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) $$

Используем формулу котангенса суммы $\text{ctg}(A+B) = \frac{\text{ctg} A \text{ctg} B - 1}{\text{ctg} A + \text{ctg} B}$ для левой части и формулу приведения $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - C) = \text{tg} C$ для правой: $$ \frac{\text{ctg} \frac{\alpha}{2} \text{ctg} \frac{\beta}{2} - 1}{\text{ctg} \frac{\alpha}{2} + \text{ctg} \frac{\beta}{2}} = \text{tg} \frac{\gamma}{2} $$

Так как $\frac{\gamma}{2}$ — острый угол, $\text{ctg} \frac{\gamma}{2}$ определен и не равен нулю. Поэтому можно заменить $\text{tg} \frac{\gamma}{2}$ на $\frac{1}{\text{ctg} \frac{\gamma}{2}}$: $$ \frac{\text{ctg} \frac{\alpha}{2} \text{ctg} \frac{\beta}{2} - 1}{\text{ctg} \frac{\alpha}{2} + \text{ctg} \frac{\beta}{2}} = \frac{1}{\text{ctg} \frac{\gamma}{2}} $$

Применив свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем: $$ \text{ctg} \frac{\gamma}{2} \left(\text{ctg} \frac{\alpha}{2} \text{ctg} \frac{\beta}{2} - 1\right) = \text{ctg} \frac{\alpha}{2} + \text{ctg} \frac{\beta}{2} $$

Раскроем скобки в левой части: $$ \text{ctg} \frac{\alpha}{2} \text{ctg} \frac{\beta}{2} \text{ctg} \frac{\gamma}{2} - \text{ctg} \frac{\gamma}{2} = \text{ctg} \frac{\alpha}{2} + \text{ctg} \frac{\beta}{2} $$

Наконец, перенесем член $-\text{ctg} \frac{\gamma}{2}$ в правую часть, чтобы получить искомое тождество: $$ \text{ctg} \frac{\alpha}{2} + \text{ctg} \frac{\beta}{2} + \text{ctg} \frac{\gamma}{2} = \text{ctg} \frac{\alpha}{2} \text{ctg} \frac{\beta}{2} \text{ctg} \frac{\gamma}{2} $$

Ответ: Равенство доказано для любого треугольника.