Страница 278 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.72 Докажите:

а) теорему 2;

б) теорему 6.

а) теорему 2

Формулировка теоремы: Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

Доказательство:

Пусть дана прямая призма с высотой $h$ и основанием, площадь которого равна $S$. Докажем, что ее объем $V$ вычисляется по формуле $V = S \cdot h$.

1. Сначала докажем теорему для прямой призмы, у которой основанием является треугольник. Любой треугольник можно разбить на два прямоугольных треугольника, проведя в нем высоту. (В случае тупоугольного треугольника его площадь можно представить как разность площадей двух прямоугольных треугольников). Следовательно, для доказательства утверждения для произвольной треугольной призмы достаточно доказать его для призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник.

Рассмотрим прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник. Достроим эту призму до прямоугольного параллелепипеда, «приставив» к ней такую же призму, симметричную относительно плоскости, проходящей через гипотенузу. Объем этого параллелепипеда равен произведению площади его основания (прямоугольника) на высоту. Площадь основания параллелепипеда в два раза больше площади основания исходной призмы, а высота та же. Объем исходной призмы равен половине объема достроенного параллелепипеда. Таким образом, объем прямой призмы с прямоугольным треугольником в основании равен произведению площади ее основания на высоту.

Так как объем призмы с основанием, составленным из двух треугольников, равен сумме объемов призм с этими треугольниками в основании, а площадь основания равна сумме их площадей, то формула верна для любой прямой треугольной призмы.

2. Теперь рассмотрим произвольную прямую призму. Ее основание — многоугольник. Любой многоугольник можно разбить на конечное число треугольников. Например, проведя все диагонали из одной вершины. Пусть основание призмы разбито на $k$ треугольников $T_1, T_2, \ldots, T_k$.

Площадь основания призмы $S$ равна сумме площадей этих треугольников: $S = S_1 + S_2 + \ldots + S_k$, где $S_i$ — площадь треугольника $T_i$.

Эта триангуляция основания разбивает исходную призму на $k$ прямых треугольных призм, высота каждой из которых равна $h$. Объем исходной призмы $V$ равен сумме объемов этих треугольных призм $V_1, V_2, \ldots, V_k$.

Как мы доказали в пункте 1, объем каждой треугольной призмы $V_i$ равен $S_i \cdot h$.

Тогда объем исходной призмы:

$V = V_1 + V_2 + \ldots + V_k = S_1 \cdot h + S_2 \cdot h + \ldots + S_k \cdot h = (S_1 + S_2 + \ldots + S_k) \cdot h = S \cdot h$.

Теорема доказана.

Ответ: Доказано, что объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

б) теорему 6

Формулировка теоремы: Объем шара радиуса $R$ равен $\frac{4}{3}\pi R^3$.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим полушар радиуса $R$. Его объем равен половине объема всего шара. Поместим этот полушар основанием на плоскость $\alpha$.

Рассмотрим также вспомогательное тело: цилиндр, радиус основания и высота которого равны $R$. Из этого цилиндра вырежем конус, вершина которого совпадает с центром нижнего основания цилиндра, а основание конуса совпадает с верхним основанием цилиндра. Поставим это тело (цилиндр с вырезанным конусом) на ту же плоскость $\alpha$.

Согласно принципу Кавальери, если площади сечений двух тел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, равны, то объемы этих тел равны.

Рассмотрим сечение обоих тел плоскостью $\beta$, параллельной плоскости $\alpha$ и находящейся на расстоянии $z$ от нее (где $0 \le z \le R$).

1. Найдем площадь сечения полушара.

Сечение полушара плоскостью $\beta$ представляет собой круг. Пусть его радиус равен $r_1$. Из прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является радиус шара $R$, а катетами — расстояние $z$ и радиус сечения $r_1$, по теореме Пифагора имеем: $R^2 = z^2 + r_1^2$. Отсюда $r_1^2 = R^2 - z^2$.

Площадь этого сечения $S_1$ равна: $S_1 = \pi r_1^2 = \pi (R^2 - z^2)$.

2. Найдем площадь сечения вспомогательного тела.

Сечение цилиндра плоскостью $\beta$ — это круг радиуса $R$. Его площадь равна $\pi R^2$.

Сечение конуса плоскостью $\beta$ — это круг. Пусть его радиус равен $r_2$. Из подобия треугольников (в осевом сечении конуса) следует, что $\frac{r_2}{z} = \frac{R}{R}$, то есть $r_2 = z$.

Площадь этого сечения равна $\pi r_2^2 = \pi z^2$.

Сечение вспомогательного тела представляет собой кольцо. Его площадь $S_2$ равна разности площадей сечения цилиндра и сечения конуса:

$S_2 = \pi R^2 - \pi z^2 = \pi (R^2 - z^2)$.

3. Применение принципа Кавальери.

Мы видим, что для любого $z$ от $0$ до $R$ площади сечений $S_1$ и $S_2$ равны. Следовательно, по принципу Кавальери, объемы полушара и вспомогательного тела равны.

$V_{\text{полушара}} = V_{\text{вспом. тела}}$.

4. Вычисление объема.

Объем вспомогательного тела равен разности объемов цилиндра и конуса.

Объем цилиндра: $V_{\text{цил}} = S_{\text{осн}} \cdot H = \pi R^2 \cdot R = \pi R^3$.

Объем конуса: $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3}\pi R^3$.

Объем вспомогательного тела: $V_{\text{вспом. тела}} = V_{\text{цил}} - V_{\text{кон}} = \pi R^3 - \frac{1}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$.

Следовательно, объем полушара также равен $\frac{2}{3}\pi R^3$.

Объем всего шара $V_{\text{шара}}$ в два раза больше объема полушара:

$V_{\text{шара}} = 2 \cdot V_{\text{полушара}} = 2 \cdot \frac{2}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Теорема доказана.

Ответ: Доказано, что объем шара радиуса $R$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Вычислите (9.73-9.75):

9.73 а) $ \operatorname{tg} (60^\circ + 45^\circ) $; б) $ \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) $; в) $ \operatorname{tg} (60^\circ - 45^\circ) $; г) $ \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) $.

а) Для вычисления $ \tg(60^\circ + 45^\circ) $ воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta} $.

В нашем случае $ \alpha = 60^\circ $ и $ \beta = 45^\circ $. Известны табличные значения тангенсов: $ \tg(60^\circ) = \sqrt{3} $ и $ \tg(45^\circ) = 1 $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \tg(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tg(60^\circ) + \tg(45^\circ)}{1 - \tg(60^\circ) \tg(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} $.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ (1 + \sqrt{3}) $:

$ \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -\frac{2(2 + \sqrt{3})}{2} = -(2 + \sqrt{3}) = -2 - \sqrt{3} $.

Ответ: $ -2 - \sqrt{3} $.

б) Для вычисления $ \tg(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) $ используем ту же формулу тангенса суммы: $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta} $.

Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{6} $ и $ \beta = \frac{\pi}{4} $. Известны табличные значения: $ \tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $ и $ \tg(\frac{\pi}{4}) = 1 $.

Подставляем значения:

$ \tg(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tg(\frac{\pi}{6}) + \tg(\frac{\pi}{4})}{1 - \tg(\frac{\pi}{6}) \tg(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} $.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на сопряженное выражение $ (3 + \sqrt{3}) $:

$ \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = \frac{6(2 + \sqrt{3})}{6} = 2 + \sqrt{3} $.

Ответ: $ 2 + \sqrt{3} $.

в) Для вычисления $ \tg(60^\circ - 45^\circ) $ воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta} $.

В данном случае $ \alpha = 60^\circ $ и $ \beta = 45^\circ $. Знаем, что $ \tg(60^\circ) = \sqrt{3} $ и $ \tg(45^\circ) = 1 $.

Подставим значения в формулу:

$ \tg(60^\circ - 45^\circ) = \frac{\tg(60^\circ) - \tg(45^\circ)}{1 + \tg(60^\circ) \tg(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} $.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{3} - 1) $:

$ \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{2} = 2 - \sqrt{3} $.

Ответ: $ 2 - \sqrt{3} $.

г) Для вычисления $ \tg(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) $ используем ту же формулу тангенса разности: $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta} $.

Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{4} $ и $ \beta = \frac{\pi}{6} $. Знаем, что $ \tg(\frac{\pi}{4}) = 1 $ и $ \tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Подставляем значения:

$ \tg(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\tg(\frac{\pi}{4}) - \tg(\frac{\pi}{6})}{1 + \tg(\frac{\pi}{4}) \tg(\frac{\pi}{6})} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} $.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на сопряженное выражение $ (3 - \sqrt{3}) $:

$ \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = \frac{6(2 - \sqrt{3})}{6} = 2 - \sqrt{3} $.

Ответ: $ 2 - \sqrt{3} $.

9.74 $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$ и $\operatorname{tg}(\alpha - \beta)$, если $\operatorname{tg} \alpha = \frac{5}{3}$, $\operatorname{tg} \beta = \frac{2}{5}$.

Для решения данной задачи используются формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов. Нам даны следующие значения:

$ \tg \alpha = \frac{5}{3} $

$ \tg \beta = \frac{2}{5} $

$ \tg(\alpha + \beta) $

Формула тангенса суммы углов имеет вид:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta} $

Подставим известные значения в эту формулу:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{5}{3} + \frac{2}{5}}{1 - \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5}} $

Выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим числитель:

$ \frac{5}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 5}{15} + \frac{2 \cdot 3}{15} = \frac{25 + 6}{15} = \frac{31}{15} $

Теперь вычислим знаменатель:

$ 1 - \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} = 1 - \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 5} = 1 - \frac{10}{15} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $

Наконец, разделим числитель на знаменатель, чтобы найти значение $ \tg(\alpha + \beta) $:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{31}{15}}{\frac{1}{3}} = \frac{31}{15} \cdot \frac{3}{1} = \frac{31 \cdot 3}{15} = \frac{31}{5} $

Ответ: $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{31}{5} $.

$ \tg(\alpha - \beta) $

Формула тангенса разности углов имеет вид:

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \cdot \tg \beta} $

Подставим известные значения в эту формулу:

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{5}{3} - \frac{2}{5}}{1 + \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5}} $

Выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим числитель:

$ \frac{5}{3} - \frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 5}{15} - \frac{2 \cdot 3}{15} = \frac{25 - 6}{15} = \frac{19}{15} $

Теперь вычислим знаменатель:

$ 1 + \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} = 1 + \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 5} = 1 + \frac{10}{15} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} $

Наконец, разделим числитель на знаменатель, чтобы найти значение $ \tg(\alpha - \beta) $:

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{3}} = \frac{19}{15} \cdot \frac{3}{5} = \frac{19 \cdot 3}{15 \cdot 5} = \frac{19}{5 \cdot 5} = \frac{19}{25} $

Ответ: $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{19}{25} $.

9.75 a) $ \frac{\operatorname{tg} 39^\circ + \operatorname{tg} 6^\circ}{1 - \operatorname{tg} 39^\circ \operatorname{tg} 6^\circ}; $

б) $ \frac{\operatorname{tg} 72^\circ - \operatorname{tg} 12^\circ}{1 + \operatorname{tg} 72^\circ \operatorname{tg} 12^\circ}; $

В) $ \frac{\operatorname{tg} 37^\circ + \operatorname{tg} 23^\circ}{1 - \operatorname{tg} 37^\circ \operatorname{tg} 23^\circ}; $

Г) $ \frac{\operatorname{tg} 54^\circ - \operatorname{tg} 24^\circ}{1 + \operatorname{tg} 54^\circ \operatorname{tg} 24^\circ}. $

а) Для решения этого примера используется формула тангенса суммы углов: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.

Подставим в формулу значения из нашего выражения, где $\alpha = 39^\circ$ и $\beta = 6^\circ$.

$\frac{\text{tg } 39^\circ + \text{tg } 6^\circ}{1 - \text{tg } 39^\circ \text{ tg } 6^\circ} = \text{tg}(39^\circ + 6^\circ) = \text{tg}(45^\circ)$.

Мы знаем, что тангенс 45 градусов равен 1.

Ответ: $1$

б) В этом примере применяется формула тангенса разности углов: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.

Подставим значения, где $\alpha = 72^\circ$ и $\beta = 12^\circ$.

$\frac{\text{tg } 72^\circ - \text{tg } 12^\circ}{1 + \text{tg } 72^\circ \text{ tg } 12^\circ} = \text{tg}(72^\circ - 12^\circ) = \text{tg}(60^\circ)$.

Значение тангенса 60 градусов является табличным и равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

в) Снова используем формулу тангенса суммы углов: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.

В данном случае $\alpha = 37^\circ$ и $\beta = 23^\circ$.

$\frac{\text{tg } 37^\circ + \text{tg } 23^\circ}{1 - \text{tg } 37^\circ \text{ tg } 23^\circ} = \text{tg}(37^\circ + 23^\circ) = \text{tg}(60^\circ)$.

Как и в предыдущем примере, тангенс 60 градусов равен $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

г) Здесь вновь используется формула тангенса разности углов: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.

Подставляем значения, где $\alpha = 54^\circ$ и $\beta = 24^\circ$.

$\frac{\text{tg } 54^\circ - \text{tg } 24^\circ}{1 + \text{tg } 54^\circ \text{ tg } 24^\circ} = \text{tg}(54^\circ - 24^\circ) = \text{tg}(30^\circ)$.

Табличное значение тангенса 30 градусов равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$