Страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.45 Запишите формулы:

а) синуса двойного угла;

$\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

б) косинуса двойного угла.

$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$

а) Формула синуса двойного угла выражает синус угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Эта формула является частным случаем формулы синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
Если в этой формуле положить $\beta = \alpha$, то мы получим формулу для синуса двойного угла:
$\sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Таким образом, формула имеет следующий вид:
$ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $
Ответ: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $

б) Формула косинуса двойного угла выражает косинус угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Эта формула выводится из формулы косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
Если положить $\beta = \alpha$, то получится основная форма формулы косинуса двойного угла:
$\cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, можно получить еще две полезные формы этой формулы:
1. Выразим через косинус. Заменим $\sin^2\alpha$ на $1 - \cos^2\alpha$:
$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
2. Выразим через синус. Заменим $\cos^2\alpha$ на $1 - \sin^2\alpha$:
$\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$.
Все три формы широко используются в зависимости от решаемой задачи.
Ответ: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, или $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$, или $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

9.46 Запишите угол в виде $2\alpha$, где $\alpha$ — некоторый угол:

а) $30^\circ$;

б) $90^\circ$;

в) $\frac{\pi}{2}$;

г) $\frac{\pi}{3}$;

д) $4\pi$;

е) $\pi$;

ж) $\frac{3\pi}{2}$.

Чтобы представить заданный угол в виде $2\alpha$, необходимо найти такой угол $\alpha$, который в два раза меньше исходного. Для этого разделим каждый из предложенных углов на 2.

а)

Дан угол $30^\circ$. Представим его в виде $2\alpha$.

$2\alpha = 30^\circ$

$\alpha = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$

Таким образом, $30^\circ = 2 \cdot 15^\circ$.

Ответ: $2 \cdot 15^\circ$.

б)

Дан угол $90^\circ$. Представим его в виде $2\alpha$.

$2\alpha = 90^\circ$

$\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Таким образом, $90^\circ = 2 \cdot 45^\circ$.

Ответ: $2 \cdot 45^\circ$.

в)

Дан угол $\frac{\pi}{2}$. Представим его в виде $2\alpha$.

$2\alpha = \frac{\pi}{2}$

$\alpha = \frac{\pi}{2} \div 2 = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}$

Таким образом, $\frac{\pi}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $2 \cdot \frac{\pi}{4}$.

г)

Дан угол $\frac{\pi}{3}$. Представим его в виде $2\alpha$.

$2\alpha = \frac{\pi}{3}$

$\alpha = \frac{\pi}{3} \div 2 = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$

Таким образом, $\frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $2 \cdot \frac{\pi}{6}$.

д)

Дан угол $4\pi$. Представим его в виде $2\alpha$.

$2\alpha = 4\pi$

$\alpha = \frac{4\pi}{2} = 2\pi$

Таким образом, $4\pi = 2 \cdot 2\pi$.

Ответ: $2 \cdot 2\pi$.

е)

Дан угол $\pi$. Представим его в виде $2\alpha$.

$2\alpha = \pi$

$\alpha = \frac{\pi}{2}$

Таким образом, $\pi = 2 \cdot \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $2 \cdot \frac{\pi}{2}$.

ж)

Дан угол $\frac{3\pi}{2}$. Представим его в виде $2\alpha$.

$2\alpha = \frac{3\pi}{2}$

$\alpha = \frac{3\pi}{2} \div 2 = \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{4}$

Таким образом, $\frac{3\pi}{2} = 2 \cdot \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $2 \cdot \frac{3\pi}{4}$.

9.47 Упростите выражение:

а) $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ;$

б) $4 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30';$

в) $5 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12};$

г) $4 \cos (-15^\circ) \sin (-15^\circ).$

а) Для упрощения выражения $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $.
В данном случае $\alpha = 15^\circ$.
Применяя формулу, получаем:
$2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$.
Значение синуса 30 градусов является табличным: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Рассмотрим выражение $4 \sin 22^\circ30' \cos 22^\circ30'$.
Представим его в виде: $2 \cdot (2 \sin 22^\circ30' \cos 22^\circ30')$.
Снова используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $, где $\alpha = 22^\circ30'$.
$2 \sin 22^\circ30' \cos 22^\circ30' = \sin(2 \cdot 22^\circ30') = \sin(44^\circ60')$.
Так как $60' = 1^\circ$, то $44^\circ60' = 45^\circ$.
Таким образом, исходное выражение упрощается до $2 \cdot \sin(45^\circ)$.
Значение синуса 45 градусов: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Вычисляем окончательный результат: $2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$

в) Упростим выражение $5 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12}$.
Вынесем множитель за скобки, чтобы применить формулу синуса двойного угла:
$5 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{5}{2} \cdot (2 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12})$.
Применяем формулу $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $ для $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
$2 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{6})$.
Подставляем обратно в выражение: $\frac{5}{2} \cdot \sin(\frac{\pi}{6})$.
Значение синуса $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует 30°): $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Окончательный расчет: $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$

г) Рассмотрим выражение $4 \cos(-15^\circ) \sin(-15^\circ)$.
Переставим множители и представим выражение в виде: $2 \cdot (2 \sin(-15^\circ) \cos(-15^\circ))$.
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $ при $\alpha = -15^\circ$.
$2 \sin(-15^\circ) \cos(-15^\circ) = \sin(2 \cdot (-15^\circ)) = \sin(-30^\circ)$.
Таким образом, исходное выражение равно $2 \cdot \sin(-30^\circ)$.
Поскольку синус — нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, $\sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Вычисляем результат: $2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$.
Ответ: $-1$

9.48 Вычислите $ \sin 2\alpha $, если:

а) $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $;

б) $ \cos \alpha = -\frac{1}{3} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

а)

Для вычисления $sin(2\alpha)$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)$.

По условию, $sin(\alpha) = \frac{1}{2}$. Чтобы найти $cos(\alpha)$, используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Выразим $cos^2(\alpha)$:

$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Отсюда $cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (первая координатная четверть), значение косинуса для этого угла положительно. Следовательно, мы выбираем знак "+":

$cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим известные значения $sin(\alpha)$ и $cos(\alpha)$ в формулу двойного угла:

$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б)

Аналогично пункту а), используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)$.

По условию, $cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$. Найдем $sin(\alpha)$ из основного тригонометрического тождества: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Выразим $sin^2(\alpha)$:

$sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

Отсюда $sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (вторая координатная четверть), где значение синуса положительно. Следовательно, мы выбираем знак "+":

$sin(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Теперь подставим известные значения $sin(\alpha)$ и $cos(\alpha)$ в формулу двойного угла:

$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Ответ: $-\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Упростите выражение (9.49–9.50):

9.49

а) $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$;

б) $\sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ$;

в) $\cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ$;

г) $(\sin \alpha + \cos \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha)$.

а) Для упрощения выражения $ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.
В данном выражении $ \alpha = 15^\circ $.
Подставляем значение в формулу:
$ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ) $.
Значение $ \cos(30^\circ) $ является стандартным тригонометрическим значением: $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

б) Выражение $ \sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ $ можно преобразовать, вынеся минус за скобки:
$ \sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ = -(\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ) $.
Выражение в скобках, как и в предыдущем пункте, соответствует формуле косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $, где $ \alpha = 15^\circ $.
Следовательно:
$ -(\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ) = -\cos(2 \cdot 15^\circ) = -\cos(30^\circ) $.
Так как $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то результат равен $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

в) Для упрощения выражения $ \cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ $ также применяется формула косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.
В этом случае $ \alpha = 20^\circ $.
Применяем формулу:
$ \cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ = \cos(2 \cdot 20^\circ) = \cos(40^\circ) $.
Это выражение не упрощается до конкретного числового значения без калькулятора, поэтому оставляем его в таком виде.
Ответ: $ \cos(40^\circ) $.

г) Выражение $ (\sin \alpha + \cos \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha) $ представляет собой произведение суммы и разности двух чисел. Можно поменять слагаемые в первой скобке местами, чтобы получить более привычный вид: $ (\cos \alpha + \sin \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha) $.
Теперь воспользуемся формулой разности квадратов: $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.
В нашем случае $ a = \cos \alpha $ и $ b = \sin \alpha $.
Получаем:
$ (\cos \alpha + \sin \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.
Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла: $ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos(2\alpha) $.
Ответ: $ \cos(2\alpha) $.

9.50 a) $\sin^2 \frac{\pi}{8} - \cos^2 \frac{\pi}{8}$;

б) $2 \sin 50^{\circ} \sin 40^{\circ}$;

в) $\cos^2 15^{\circ} - \cos^2 75^{\circ}$;

г) $(\sin 80^{\circ} + \sin 10^{\circ}) (\cos 80^{\circ} - \cos 10^{\circ})$.

а)

Для вычисления выражения $\sin^2\frac{\pi}{8} - \cos^2\frac{\pi}{8}$ воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Сначала вынесем минус за скобки, чтобы привести исходное выражение к стандартному виду формулы: $$ \sin^2\frac{\pi}{8} - \cos^2\frac{\pi}{8} = - \left( \cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} \right) $$

Теперь, согласно формуле двойного угла, где $\alpha = \frac{\pi}{8}$, заменяем выражение в скобках: $$ - \left( \cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} \right) = - \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) $$

Упрощаем аргумент косинуса: $$ - \cos\left(\frac{2\pi}{8}\right) = - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $$

Значение $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, окончательный результат: $$ - \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б)

Для упрощения выражения $2 \sin 50^\circ \sin 40^\circ$ применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов: $$ 2 \sin\alpha \sin\beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) $$

В данном случае $\alpha = 50^\circ$ и $\beta = 40^\circ$. Подставляем эти значения в формулу: $$ 2 \sin 50^\circ \sin 40^\circ = \cos(50^\circ - 40^\circ) - \cos(50^\circ + 40^\circ) $$

Выполняем арифметические действия в аргументах косинусов: $$ \cos(10^\circ) - \cos(90^\circ) $$

Мы знаем, что $\cos(90^\circ) = 0$. Подставляем это значение: $$ \cos(10^\circ) - 0 = \cos(10^\circ) $$

Ответ: $\cos(10^\circ)$.

в)

Чтобы вычислить значение выражения $\cos^2 15^\circ - \cos^2 75^\circ$, сначала преобразуем $\cos^2 75^\circ$, используя формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

При $\alpha = 15^\circ$ имеем: $$ \cos 75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ $$

Подставим полученное выражение в исходное: $$ \cos^2 15^\circ - (\sin 15^\circ)^2 = \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ $$

Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Применим эту формулу для $\alpha = 15^\circ$: $$ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ) $$

Значение $\cos(30^\circ)$ является табличным: $$ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г)

Для упрощения выражения $(\sin 80^\circ + \sin 10^\circ)(\cos 80^\circ - \cos 10^\circ)$ воспользуемся формулами приведения: $$ \sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ $$ $$ \cos 80^\circ = \cos(90^\circ - 10^\circ) = \sin 10^\circ $$

Подставим эти значения в исходное выражение: $$ (\cos 10^\circ + \sin 10^\circ)(\sin 10^\circ - \cos 10^\circ) $$

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(a+b)(b-a) = b^2 - a^2$, где $b = \sin 10^\circ$ и $a = \cos 10^\circ$: $$ \sin^2 10^\circ - \cos^2 10^\circ $$

Вынесем знак минус за скобки, чтобы применить формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$: $$ -(\cos^2 10^\circ - \sin^2 10^\circ) = -\cos(2 \cdot 10^\circ) = -\cos(20^\circ) $$

Используя формулу приведения $\cos(20^\circ) = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \sin(70^\circ)$, ответ можно также записать в виде $-\sin(70^\circ)$. Оба варианта верны.

Ответ: $-\cos(20^\circ)$.

9.51 Выразите $ \cos 2\alpha $ только через:

а) $ \sin \alpha $, если $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $;

б) $ \sin \alpha $, если $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

в) $ \cos \alpha $, если $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $;

г) $ \cos \alpha $, если $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

а) sin α, если 0 < α < π/2

Для того чтобы выразить $cos(2α)$ только через $sin(α)$, используется одна из формул косинуса двойного угла:$cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)$.Из основного тригонометрического тождества $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$ следует, что $cos^2(α) = 1 - sin^2(α)$.Подставим это выражение в формулу для $cos(2α)$:$cos(2α) = (1 - sin^2(α)) - sin^2(α) = 1 - 2sin^2(α)$.Эта формула является тождеством и справедлива для любого угла $α$. Условие $0 < α < \frac{\pi}{2}$ не влияет на конечный вид выражения.

Ответ: $cos(2α) = 1 - 2sin^2(α)$.

б) sin α, если π/2 < α < π

Задача аналогична предыдущему пункту. Требуется выразить $cos(2α)$ через $sin(α)$. Используемая формула $cos(2α) = 1 - 2sin^2(α)$ является тождеством, то есть она верна для любого значения угла $α$.Условие, что угол $α$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < α < \pi $), не изменяет эту формулу.

Ответ: $cos(2α) = 1 - 2sin^2(α)$.

в) cos α, если 0 < α < π/2

Чтобы выразить $cos(2α)$ только через $cos(α)$, мы снова используем формулу косинуса двойного угла $cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)$.Из основного тригонометрического тождества $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$ выразим $sin^2(α) = 1 - cos^2(α)$.Подставим это выражение в формулу для $cos(2α)$:$cos(2α) = cos^2(α) - (1 - cos^2(α)) = cos^2(α) - 1 + cos^2(α) = 2cos^2(α) - 1$.Эта формула также является тождеством и верна для любого угла $α$. Условие $0 < α < \frac{\pi}{2}$ не влияет на результат.

Ответ: $cos(2α) = 2cos^2(α) - 1$.

г) cos α, если π/2 < α < π

Как и в пункте в), мы используем тождество $cos(2α) = 2cos^2(α) - 1$. Оно справедливо для любого значения угла $α$.Условие, что угол $α$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < α < \pi $), не влияет на вид этой формулы.

Ответ: $cos(2α) = 2cos^2(α) - 1$.

9.52 Если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то что больше:

a) $\sin 2\alpha$ или $2 \sin \alpha$;

б) $\cos 2\alpha$ или $2 \cos \alpha$?

a) Сравним $\sin 2\alpha$ и $2 \sin \alpha$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Теперь нам нужно сравнить выражения $2 \sin \alpha \cos \alpha$ и $2 \sin \alpha$.

По условию задачи, угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то есть в первой координатной четверти. Для любого угла из этого интервала значение синуса положительно: $\sin \alpha > 0$.

Так как $2 \sin \alpha$ является положительным числом, мы можем разделить обе части нашего сравнения на это число, при этом знак неравенства не изменится. Таким образом, сравнение сводится к сравнению $\cos \alpha$ и $1$.

Для любого угла $\alpha$ из интервала $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ значение косинуса строго меньше 1, то есть $\cos \alpha < 1$.

Из этого следует, что $2 \sin \alpha \cos \alpha < 2 \sin \alpha$, а значит $\sin 2\alpha < 2 \sin \alpha$.

Следовательно, выражение $2 \sin \alpha$ больше, чем $\sin 2\alpha$.

Ответ: $2 \sin \alpha$.

б) Сравним $\cos 2\alpha$ и $2 \cos \alpha$.

Чтобы определить, какое из выражений больше, рассмотрим их разность: $2 \cos \alpha - \cos 2\alpha$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла в виде $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$.

Подставим эту формулу в нашу разность и преобразуем выражение:

$2 \cos \alpha - (2 \cos^2 \alpha - 1) = -2 \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 1$.

Чтобы определить знак полученного выражения, сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos \alpha$. Так как по условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то для косинуса выполняется неравенство $0 < \cos \alpha < 1$. Следовательно, $0 < t < 1$.

Теперь нам нужно исследовать знак квадратичной функции $f(t) = -2t^2 + 2t + 1$ на интервале $(0, 1)$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $t^2$ отрицателен (равен -2).

Найдем корни квадратного уравнения $-2t^2 + 2t + 1 = 0$, чтобы определить, где функция положительна, а где отрицательна.

Дискриминант $D = 2^2 - 4(-2)(1) = 4 + 8 = 12$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2(-2)} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{-4} = \frac{1 \mp \sqrt{3}}{2}$.

Получаем два корня: $t_1 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \approx -0.366$ и $t_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx 1.366$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция $f(t)$ принимает положительные значения между своими корнями. Интервал наших значений $t \in (0, 1)$ целиком лежит между корнями $t_1$ и $t_2$.

Следовательно, для любого $t$ из интервала $(0, 1)$ функция $f(t)$ положительна: $f(t) > 0$.

Это означает, что разность $2 \cos \alpha - \cos 2\alpha$ также всегда положительна для заданного диапазона $\alpha$.

Таким образом, $2 \cos \alpha > \cos 2\alpha$.

Ответ: $2 \cos \alpha$.

9.53* Существуют ли углы $\alpha$, для каждого из которых выполняется равенство $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha (-\pi \le \alpha \le \pi)$?

9.53* Для того чтобы выяснить, существуют ли такие углы $\alpha$, необходимо решить уравнение $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)$ на промежутке $-\pi \le \alpha \le \pi$.

Для решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\sin(\alpha)$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$2\sin(\alpha)\cos(\alpha) - 2\sin(\alpha) = 0$

Вынесем общий множитель $2\sin(\alpha)$ за скобки:

$2\sin(\alpha)(\cos(\alpha) - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два, так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $\sin(\alpha) = 0$

2) $\cos(\alpha) - 1 = 0$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Решаем уравнение $\sin(\alpha) = 0$.

Общее решение этого уравнения: $\alpha = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем те корни, которые принадлежат заданному промежутку $[-\pi, \pi]$:

• При $k = -1$, $\alpha = -\pi$. Это значение входит в промежуток.
• При $k = 0$, $\alpha = 0$. Это значение входит в промежуток.
• При $k = 1$, $\alpha = \pi$. Это значение входит в промежуток.

Другие целые значения $k$ дают углы за пределами указанного промежутка.

2) Решаем уравнение $\cos(\alpha) - 1 = 0$, что эквивалентно $\cos(\alpha) = 1$.

Общее решение этого уравнения: $\alpha = 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi, \pi]$:

• При $k = 0$, $\alpha = 0$. Это значение входит в промежуток.

Другие целые значения $k$ дают углы за пределами указанного промежутка.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, мы получаем множество всех углов $\alpha$ из промежутка $[-\pi, \pi]$, для которых выполняется исходное равенство: $\{-\pi, 0, \pi\}$.

Так как мы нашли конкретные значения $\alpha$, удовлетворяющие условию, то такие углы существуют.

Ответ: Да, существуют. Такими углами являются $\alpha = -\pi$, $\alpha = 0$ и $\alpha = \pi$.

9.54 Вычислите:

а) $1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{8};$

б) $2 \cos^2 \frac{\pi}{12} - 1.$

а) Для вычисления значения выражения $1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{8}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

В данном случае, угол $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Подставим значение $\alpha$ в формулу:

$1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{2\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.

Значение косинуса угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, $1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) Для вычисления значения выражения $2 \cos^2 \frac{\pi}{12} - 1$ также воспользуемся формулой косинуса двойного угла, но в другом виде: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Здесь угол $\alpha = \frac{\pi}{12}$.

Применяя формулу, получаем:

$2 \cos^2 \frac{\pi}{12} - 1 = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{2\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{6})$.

Значение косинуса угла $\frac{\pi}{6}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $2 \cos^2 \frac{\pi}{12} - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

9.55 Упростите выражение:

a) $ \sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha; $

б) $ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha; $

в) $ \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{1 + \sin 2\alpha} $ $(\alpha \ne -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z});$

г) $ \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} $ $(\alpha \ne \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z});$

д) $ 2 \cos^2 \alpha - \cos 2\alpha; $

е) $ \cos 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha. $

а) Для упрощения выражения $ \sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha $ воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $, из которой следует, что $ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $.
Применим эту формулу к произведению $ \sin \alpha \cos \alpha $: $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha $.
Подставим полученное выражение обратно: $ (\frac{1}{2} \sin 2\alpha) \cos 2\alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \cos 2\alpha $.
Снова применим формулу синуса двойного угла, но уже для аргумента $ 2\alpha $: $ \sin 2\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2} \sin 4\alpha $.
Тогда все выражение равно: $ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin 4\alpha \right) = \frac{1}{4} \sin 4\alpha $.
Ответ: $ \frac{1}{4} \sin 4\alpha $.

б) Выражение $ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha $ представляет собой разность квадратов $ (\cos^2 \alpha)^2 - (\sin^2 \alpha)^2 $.
Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $: $ (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) $.
Используем две основные тригонометрические формулы:
1. Основное тригонометрическое тождество: $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $.
2. Формула косинуса двойного угла: $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.
Подставляя эти тождества в разложенное выражение, получаем: $ (\cos 2\alpha) \cdot 1 = \cos 2\alpha $.
Ответ: $ \cos 2\alpha $.

в) Рассмотрим выражение $ \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{1 + \sin 2\alpha} $.
Раскроем квадрат суммы в числителе: $ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha $.
Сгруппируем слагаемые: $ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha $.
Используя тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ и формулу $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, получаем, что числитель равен $ 1 + \sin 2\alpha $.
Теперь подставим это в исходную дробь: $ \frac{1 + \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} $.
Условие $ \alpha \neq -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ гарантирует, что знаменатель $ 1 + \sin 2\alpha \neq 0 $, поэтому дробь можно сократить.
В результате сокращения получаем 1.
Ответ: $ 1 $.

г) Рассмотрим выражение $ \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} $.
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. Подставим её в числитель: $ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} $.
Числитель является разностью квадратов, разложим его на множители: $ \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sin \alpha - \cos \alpha} $.
Заметим, что $ \cos \alpha - \sin \alpha = -(\sin \alpha - \cos \alpha) $. Перепишем выражение: $ \frac{-(\sin \alpha - \cos \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sin \alpha - \cos \alpha} $.
Условие $ \alpha \neq \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ гарантирует, что знаменатель $ \sin \alpha - \cos \alpha \neq 0 $, поэтому можно сократить на $ (\sin \alpha - \cos \alpha) $.
После сокращения остаётся: $ -(\cos \alpha + \sin \alpha) $.
Ответ: $ -(\sin \alpha + \cos \alpha) $.

д) В выражении $ 2 \cos^2 \alpha - \cos 2\alpha $ используем формулу косинуса двойного угла, которая связывает $ \cos 2\alpha $ и $ \cos^2 \alpha $: $ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 $.
Подставим эту формулу в выражение: $ 2 \cos^2 \alpha - (2 \cos^2 \alpha - 1) $.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $ 2 \cos^2 \alpha - 2 \cos^2 \alpha + 1 = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

е) В выражении $ \cos 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha $ используем формулу косинуса двойного угла, которая связывает $ \cos 2\alpha $ и $ \sin^2 \alpha $: $ \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha $.
Подставим эту формулу в выражение: $ (1 - 2 \sin^2 \alpha) + 2 \sin^2 \alpha $.
Приведём подобные слагаемые: $ 1 - 2 \sin^2 \alpha + 2 \sin^2 \alpha = 1 $.
Ответ: $ 1 $.