Страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.25 Запишите формулы:

а) синуса суммы двух углов;

б) синуса разности двух углов;

в) косинуса суммы двух углов;

г) косинуса разности двух углов.

а) синуса суммы двух углов

Формула синуса суммы двух углов (обозначим их как $\alpha$ и $\beta$) является одной из фундаментальных тригонометрических формул сложения. Она позволяет выразить синус суммы через синусы и косинусы исходных углов. Формула имеет следующий вид:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Это означает, что синус суммы двух углов равен сумме произведения синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.

Ответ: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

б) синуса разности двух углов

Формула синуса разности двух углов ($\alpha$ и $\beta$) выводится из формулы синуса суммы. Если представить разность $\alpha - \beta$ как сумму $\alpha + (-\beta)$ и учесть свойства нечётности синуса ($\sin(-\beta) = -\sin\beta$) и чётности косинуса ($\cos(-\beta) = \cos\beta$), мы получим следующую формулу:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Таким образом, синус разности двух углов равен разности произведения синуса первого угла на косинус второго и произведения косинуса первого угла на синус второго.

Ответ: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

в) косинуса суммы двух углов

Формула косинуса суммы двух углов ($\alpha$ и $\beta$) отличается от формулы синуса суммы тем, что в ней перемножаются одноимённые функции. Формула записывается так:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов. Обратите внимание на знак "минус" в правой части формулы.

Ответ: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

г) косинуса разности двух углов

Формула косинуса разности двух углов ($\alpha$ и $\beta$) также выводится из соответствующей формулы для суммы. Заменяя $\beta$ на $-\beta$ в формуле косинуса суммы и используя свойства чётности/нечётности, получаем:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Косинус разности двух углов равен сумме произведения косинусов этих углов и произведения синусов этих углов. Обратите внимание на знак "плюс" в правой части, который противоположен знаку в аргументе косинуса.

Ответ: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

9.26 Докажите справедливость равенства:

а) $\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha;$

б) $\sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha;$

в) $\sin \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha;$

г) $\sin \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos \alpha;$

д) $\sin \left(45^{\circ}+\alpha\right)=\cos \left(45^{\circ}-\alpha\right);$

е) $\cos \left(45^{\circ}+\alpha\right)=\sin \left(45^{\circ}-\alpha\right).$

а)

Для доказательства равенства $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha $ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

В нашем случае $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\alpha + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin\alpha $

Мы знаем, что $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ и $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $. Подставим эти значения в выражение:

$ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = 1 \cdot \cos\alpha + 0 \cdot \sin\alpha = \cos\alpha $.

Таким образом, левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha $ доказано.

б)

Для доказательства равенства $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $ воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $.

Здесь $ x = \pi $ и $ y = \alpha $.

Подставляем в формулу:

$ \sin(\pi - \alpha) = \sin\pi \cos\alpha - \cos\pi \sin\alpha $

Известно, что $ \sin\pi = 0 $ и $ \cos\pi = -1 $. Подставляем эти значения:

$ \sin(\pi - \alpha) = 0 \cdot \cos\alpha - (-1) \cdot \sin\alpha = 0 + \sin\alpha = \sin\alpha $.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $ доказано.

в)

Для доказательства равенства $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha $ применим формулу синуса разности: $ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $.

В данном случае $ x = \frac{3\pi}{2} $ и $ y = \alpha $.

Подставляем в формулу:

$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos\alpha - \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin\alpha $

Знаем, что $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $ и $ \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 $. Подставляем:

$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = (-1) \cdot \cos\alpha - 0 \cdot \sin\alpha = -\cos\alpha $.

Равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha $ доказано.

г)

Для доказательства равенства $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos\alpha $ используем формулу синуса суммы: $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

Здесь $ x = \frac{3\pi}{2} $ и $ y = \alpha $.

Подставляем в формулу:

$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos\alpha + \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin\alpha $

Так как $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $ и $ \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 $, получаем:

$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = (-1) \cdot \cos\alpha + 0 \cdot \sin\alpha = -\cos\alpha $.

Равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos\alpha $ доказано.

д)

Для доказательства равенства $ \sin(45^\circ + \alpha) = \cos(45^\circ - \alpha) $ раскроем обе части, используя формулы синуса суммы и косинуса разности.

Формула синуса суммы: $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

Раскроем левую часть: $ \sin(45^\circ + \alpha) = \sin 45^\circ \cos\alpha + \cos 45^\circ \sin\alpha $.

Формула косинуса разности: $ \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.

Раскроем правую часть: $ \cos(45^\circ - \alpha) = \cos 45^\circ \cos\alpha + \sin 45^\circ \sin\alpha $.

Мы знаем, что $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим эти значения в левую часть:

$ \sin(45^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $.

Подставим эти значения в правую часть:

$ \cos(45^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $.

Так как левая и правая части равны одному и тому же выражению, равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \sin(45^\circ + \alpha) = \cos(45^\circ - \alpha) $ доказано.

е)

Для доказательства равенства $ \cos(45^\circ + \alpha) = \sin(45^\circ - \alpha) $ раскроем обе части, используя формулы косинуса суммы и синуса разности.

Формула косинуса суммы: $ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $.

Раскроем левую часть: $ \cos(45^\circ + \alpha) = \cos 45^\circ \cos\alpha - \sin 45^\circ \sin\alpha $.

Формула синуса разности: $ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $.

Раскроем правую часть: $ \sin(45^\circ - \alpha) = \sin 45^\circ \cos\alpha - \cos 45^\circ \sin\alpha $.

Известно, что $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим эти значения в левую часть:

$ \cos(45^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $.

Подставим эти значения в правую часть:

$ \sin(45^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $.

Левая и правая части равны, следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \cos(45^\circ + \alpha) = \sin(45^\circ - \alpha) $ доказано.

Вычислите (9.27–9.28):

9.27

a) $sin 20^\circ cos 10^\circ + cos 20^\circ sin 10^\circ$;

б) $sin \frac{\pi}{5} cos \frac{4\pi}{5} + cos \frac{\pi}{5} sin \frac{4\pi}{5}$;

в) $cos 80^\circ sin 10^\circ + sin 80^\circ cos 10^\circ$;

г) $cos \frac{3\pi}{8} sin \frac{\pi}{8} + cos \frac{\pi}{8} sin \frac{3\pi}{8}$.

а) Данное выражение имеет вид $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, что соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

В нашем случае $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 10^\circ$.

Применяем формулу:

$\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ = \sin(20^\circ + 10^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Это выражение также соответствует формуле синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{4\pi}{5}$.

Подставим значения в формулу:

$\sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} + \cos \frac{\pi}{5} \sin \frac{4\pi}{5} = \sin(\frac{\pi}{5} + \frac{4\pi}{5}) = \sin(\frac{5\pi}{5}) = \sin(\pi)$.

Значение $\sin(\pi)$ равно $0$.

Ответ: $0$.

в) Выражение $\cos 80^\circ \sin 10^\circ + \sin 80^\circ \cos 10^\circ$ можно переписать для удобства: $\sin 80^\circ \cos 10^\circ + \cos 80^\circ \sin 10^\circ$.

Это снова формула синуса суммы $\sin(\alpha + \beta)$ с $\alpha = 80^\circ$ и $\beta = 10^\circ$.

Применяем формулу:

$\sin(80^\circ + 10^\circ) = \sin(90^\circ)$.

Значение $\sin(90^\circ)$ равно $1$.

Ответ: $1$.

г) Выражение $\cos \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8} + \cos \frac{\pi}{8} \sin \frac{3\pi}{8}$ также соответствует формуле синуса суммы. Для наглядности его можно представить в виде $\sin \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \cos \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8}$.

Используем формулу $\sin(\alpha + \beta)$ с $\alpha = \frac{3\pi}{8}$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$.

Вычисляем:

$\sin(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{4\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{2})$.

Значение $\sin(\frac{\pi}{2})$ равно $1$.

Ответ: $1$.

9.28 a) $\sin 75^\circ$;

б) $\sin 105^\circ$;

в) $\sin 165^\circ$;

г) $\sin 195^\circ$.

а) Для вычисления значения $sin(75^\circ)$ представим угол $75^\circ$ в виде суммы двух стандартных углов, для которых известны значения синуса и косинуса, например, $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.
Далее воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
Подставим наши значения:
$sin(75^\circ) = sin(45^\circ + 30^\circ) = sin(45^\circ)cos(30^\circ) + cos(45^\circ)sin(30^\circ)$
Зная, что $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ и $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

б) Для вычисления значения $sin(105^\circ)$ представим угол $105^\circ$ в виде суммы стандартных углов: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Используем формулу синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
$sin(105^\circ) = sin(60^\circ + 45^\circ) = sin(60^\circ)cos(45^\circ) + cos(60^\circ)sin(45^\circ)$
Зная, что $sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
(Также можно заметить, что $sin(105^\circ) = sin(180^\circ - 75^\circ) = sin(75^\circ)$, что дает тот же результат, что и в пункте а)).
Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

в) Для вычисления значения $sin(165^\circ)$ воспользуемся формулой приведения $sin(180^\circ - \alpha) = sin(\alpha)$.
$sin(165^\circ) = sin(180^\circ - 15^\circ) = sin(15^\circ)$
Теперь вычислим $sin(15^\circ)$, представив $15^\circ$ как разность $45^\circ - 30^\circ$ и используя формулу синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
$sin(15^\circ) = sin(45^\circ - 30^\circ) = sin(45^\circ)cos(30^\circ) - cos(45^\circ)sin(30^\circ)$
$sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
Следовательно, $sin(165^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

г) Для вычисления значения $sin(195^\circ)$ воспользуемся формулой приведения $sin(180^\circ + \alpha) = -sin(\alpha)$.
$sin(195^\circ) = sin(180^\circ + 15^\circ) = -sin(15^\circ)$
Из предыдущего пункта (в) мы знаем, что $sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Подставляем это значение:
$sin(195^\circ) = - \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right) = \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Упростите выражение (9.29–9.30):

9.29 a) $ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $; б) $ 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - 2\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $

а)Для упрощения выражения $ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $ воспользуемся формулами синуса и косинуса суммы:
$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $
В нашем случае $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{4} $. Значения синуса и косинуса для $ \frac{\pi}{4} $ равны: $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Раскроем каждое слагаемое в исходном выражении:
$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\alpha\cos\frac{\pi}{4} + \cos\alpha\sin\frac{\pi}{4} = \sin\alpha\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos\alpha\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha) $
$ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\alpha\cos\frac{\pi}{4} - \sin\alpha\sin\frac{\pi}{4} = \cos\alpha\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin\alpha\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $
Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:
$ \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $
Вынесем общий множитель $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ за скобки и упростим выражение в скобках:
$ \frac{\sqrt{2}}{2} \left( (\sin\alpha + \cos\alpha) - (\cos\alpha - \sin\alpha) \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin\alpha + \cos\alpha - \cos\alpha + \sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} (2\sin\alpha) $
Сократив 2, получаем конечный результат:
$ \sqrt{2}\sin\alpha $
Ответ: $ \sqrt{2}\sin\alpha $

б)Упростим выражение $ 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - 2\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $.
Сначала преобразуем второе слагаемое, используя формулу приведения $ \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) $:
$ \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{3\pi - 2\pi}{6} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) $
Так как косинус является четной функцией, то есть $ \cos(-z) = \cos z $, мы можем записать $ \cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $.
Теперь исходное выражение можно переписать в виде:
$ 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\right) $
Применим формулу разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.
В нашем случае $ x = \alpha - \frac{\pi}{3} $ и $ y = \alpha - \frac{\pi}{6} $.
Найдем полусумму и полуразность аргументов:
$ \frac{x+y}{2} = \frac{\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) + \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)}{2} = \frac{2\alpha - \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{2\alpha - \frac{3\pi}{6}}{2} = \frac{2\alpha - \frac{\pi}{2}}{2} = \alpha - \frac{\pi}{4} $
$ \frac{x-y}{2} = \frac{\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)}{2} = \frac{\alpha - \frac{2\pi}{6} - \alpha + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{-\frac{\pi}{6}}{2} = -\frac{\pi}{12} $
Подставим найденные значения в формулу:
$ 2\left( -2\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right) \right) $
Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-z) = -\sin z $), то $ \sin\left(-\frac{\pi}{12}\right) = -\sin\frac{\pi}{12} $.
$ 2\left( -2\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\left(-\sin\frac{\pi}{12}\right) \right) = 4\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\sin\frac{\pi}{12} $
Вычислим значение $ \sin\frac{\pi}{12} $, используя формулу синуса разности ($ \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} $):
$ \sin\frac{\pi}{12} = \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $
Подставим это значение в наше выражение:
$ 4\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = (\sqrt{6}-\sqrt{2})\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $
Ответ: $ (\sqrt{6}-\sqrt{2})\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $

9.30 a) $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha;$

б) $\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \alpha - \sin \alpha);$

в) $\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha);$

г) $\frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha.$

а) Данное выражение $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha$ можно преобразовать, используя формулы сложения для тригонометрических функций. Заметим, что коэффициенты при $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ являются значениями косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{6}$:
$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha = \sin \alpha \cos(\frac{\pi}{6}) - \cos \alpha \sin(\frac{\pi}{6})$.
Полученное выражение является формулой синуса разности: $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$.
Применив эту формулу для $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$\sin(\alpha - \frac{\pi}{6})$.
Ответ: $\sin(\alpha - \frac{\pi}{6})$.

б) Преобразуем выражение $\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \alpha - \sin \alpha)$, раскрыв скобки:
$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha$.
Коэффициент $\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствует значениям синуса и косинуса угла $\frac{\pi}{4}$:
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставим эти значения в выражение:
$\cos \alpha \cos(\frac{\pi}{4}) - \sin \alpha \sin(\frac{\pi}{4})$.
Это соответствует формуле косинуса суммы: $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.
Применив эту формулу для $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$\cos(\alpha + \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $\cos(\alpha + \frac{\pi}{4})$.

в) Преобразуем выражение $\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha)$, раскрыв скобки:
$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha$.
Как и в предыдущем пункте, используем значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$:
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставим эти значения в выражение:
$\sin \alpha \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos \alpha \sin(\frac{\pi}{4})$.
Это соответствует формуле синуса суммы: $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.
Применив эту формулу для $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})$.

г) Данное выражение $\frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha$ можно преобразовать, заметив, что коэффициенты являются значениями синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$:
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\sin \alpha \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos \alpha \sin(\frac{\pi}{3})$.
Это выражение является формулой синуса суммы: $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.
Применив эту формулу для $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3}$, получаем:
$\sin(\alpha + \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $\sin(\alpha + \frac{\pi}{3})$.