Номер 9.27, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.3. Синус суммы и синус разности двух углов - номер 9.27, страница 265.

Условие.

Вычислите (9.27–9.28):

9.27

a) $sin 20^\circ cos 10^\circ + cos 20^\circ sin 10^\circ$;

б) $sin \frac{\pi}{5} cos \frac{4\pi}{5} + cos \frac{\pi}{5} sin \frac{4\pi}{5}$;

в) $cos 80^\circ sin 10^\circ + sin 80^\circ cos 10^\circ$;

г) $cos \frac{3\pi}{8} sin \frac{\pi}{8} + cos \frac{\pi}{8} sin \frac{3\pi}{8}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Данное выражение имеет вид $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, что соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

В нашем случае $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 10^\circ$.

Применяем формулу:

$\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ = \sin(20^\circ + 10^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Это выражение также соответствует формуле синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{4\pi}{5}$.

Подставим значения в формулу:

$\sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} + \cos \frac{\pi}{5} \sin \frac{4\pi}{5} = \sin(\frac{\pi}{5} + \frac{4\pi}{5}) = \sin(\frac{5\pi}{5}) = \sin(\pi)$.

Значение $\sin(\pi)$ равно $0$.

Ответ: $0$.

в) Выражение $\cos 80^\circ \sin 10^\circ + \sin 80^\circ \cos 10^\circ$ можно переписать для удобства: $\sin 80^\circ \cos 10^\circ + \cos 80^\circ \sin 10^\circ$.

Это снова формула синуса суммы $\sin(\alpha + \beta)$ с $\alpha = 80^\circ$ и $\beta = 10^\circ$.

Применяем формулу:

$\sin(80^\circ + 10^\circ) = \sin(90^\circ)$.

Значение $\sin(90^\circ)$ равно $1$.

Ответ: $1$.

г) Выражение $\cos \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8} + \cos \frac{\pi}{8} \sin \frac{3\pi}{8}$ также соответствует формуле синуса суммы. Для наглядности его можно представить в виде $\sin \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \cos \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8}$.

Используем формулу $\sin(\alpha + \beta)$ с $\alpha = \frac{3\pi}{8}$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$.

Вычисляем:

$\sin(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{4\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{2})$.

Значение $\sin(\frac{\pi}{2})$ равно $1$.

Ответ: $1$.