Номер 9.32, страница 266 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.3. Синус суммы и синус разности двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.32, страница 266.

9.32 Докажите справедливость равенства:

а) $\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta$;

б) $\sin(\alpha - \beta) \sin(\alpha + \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$.

а)

Для доказательства данного равенства воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности двух углов:

$sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Подставим эти выражения в левую часть доказываемого равенства:

$sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta) = (sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) + (sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Члены $-\cos\alpha \sin\beta$ и $+\cos\alpha \sin\beta$ взаимно уничтожаются.

$sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta + sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta = sin\alpha \cos\beta + sin\alpha \cos\beta = 2\sin\alpha \cos\beta$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta$ справедливо.

б)

Для доказательства этого равенства также используем формулы синуса суммы и разности. Преобразуем левую часть равенства:

$sin(\alpha - \beta) sin(\alpha + \beta) = (sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta)(sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta)$

Мы получили произведение разности и суммы двух выражений, которое равно разности их квадратов по формуле $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = sin\alpha \cos\beta$ и $b = \cos\alpha \sin\beta$.

$(sin\alpha \cos\beta)^2 - (\cos\alpha \sin\beta)^2 = sin^2\alpha \cos^2\beta - \cos^2\alpha \sin^2\beta$

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого выразим $\cos^2\beta = 1 - sin^2\beta$ и $\cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$. Подставим эти выражения в полученное равенство:

$sin^2\alpha (1 - sin^2\beta) - (1 - sin^2\alpha) sin^2\beta$

Раскроем скобки:

$sin^2\alpha - sin^2\alpha sin^2\beta - (sin^2\beta - sin^2\alpha sin^2\beta)$

$sin^2\alpha - sin^2\alpha sin^2\beta - sin^2\beta + sin^2\alpha sin^2\beta$

Приведем подобные слагаемые. Члены $-sin^2\alpha sin^2\beta$ и $+sin^2\alpha sin^2\beta$ взаимно уничтожаются.

$sin^2\alpha - sin^2\beta$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $sin(\alpha - \beta) sin(\alpha + \beta) = sin^2 \alpha - sin^2 \beta$ справедливо.