Номер 9.30, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.3. Синус суммы и синус разности двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.30, страница 265.

9.30 a) $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha;$

б) $\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \alpha - \sin \alpha);$

в) $\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha);$

г) $\frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha.$

а) Данное выражение $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha$ можно преобразовать, используя формулы сложения для тригонометрических функций. Заметим, что коэффициенты при $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ являются значениями косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{6}$:
$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha = \sin \alpha \cos(\frac{\pi}{6}) - \cos \alpha \sin(\frac{\pi}{6})$.
Полученное выражение является формулой синуса разности: $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$.
Применив эту формулу для $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$\sin(\alpha - \frac{\pi}{6})$.
Ответ: $\sin(\alpha - \frac{\pi}{6})$.

б) Преобразуем выражение $\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \alpha - \sin \alpha)$, раскрыв скобки:
$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha$.
Коэффициент $\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствует значениям синуса и косинуса угла $\frac{\pi}{4}$:
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставим эти значения в выражение:
$\cos \alpha \cos(\frac{\pi}{4}) - \sin \alpha \sin(\frac{\pi}{4})$.
Это соответствует формуле косинуса суммы: $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.
Применив эту формулу для $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$\cos(\alpha + \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $\cos(\alpha + \frac{\pi}{4})$.

в) Преобразуем выражение $\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha)$, раскрыв скобки:
$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha$.
Как и в предыдущем пункте, используем значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$:
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставим эти значения в выражение:
$\sin \alpha \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos \alpha \sin(\frac{\pi}{4})$.
Это соответствует формуле синуса суммы: $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.
Применив эту формулу для $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})$.

г) Данное выражение $\frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha$ можно преобразовать, заметив, что коэффициенты являются значениями синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$:
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\sin \alpha \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos \alpha \sin(\frac{\pi}{3})$.
Это выражение является формулой синуса суммы: $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.
Применив эту формулу для $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3}$, получаем:
$\sin(\alpha + \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $\sin(\alpha + \frac{\pi}{3})$.