Номер 9.25, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.3. Синус суммы и синус разности двух углов - номер 9.25, страница 265.

Условие.

9.25 Запишите формулы:

а) синуса суммы двух углов;

б) синуса разности двух углов;

в) косинуса суммы двух углов;

г) косинуса разности двух углов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) синуса суммы двух углов

Формула синуса суммы двух углов (обозначим их как $\alpha$ и $\beta$) является одной из фундаментальных тригонометрических формул сложения. Она позволяет выразить синус суммы через синусы и косинусы исходных углов. Формула имеет следующий вид:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Это означает, что синус суммы двух углов равен сумме произведения синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.

Ответ: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

б) синуса разности двух углов

Формула синуса разности двух углов ($\alpha$ и $\beta$) выводится из формулы синуса суммы. Если представить разность $\alpha - \beta$ как сумму $\alpha + (-\beta)$ и учесть свойства нечётности синуса ($\sin(-\beta) = -\sin\beta$) и чётности косинуса ($\cos(-\beta) = \cos\beta$), мы получим следующую формулу:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Таким образом, синус разности двух углов равен разности произведения синуса первого угла на косинус второго и произведения косинуса первого угла на синус второго.

Ответ: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

в) косинуса суммы двух углов

Формула косинуса суммы двух углов ($\alpha$ и $\beta$) отличается от формулы синуса суммы тем, что в ней перемножаются одноимённые функции. Формула записывается так:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов. Обратите внимание на знак "минус" в правой части формулы.

Ответ: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

г) косинуса разности двух углов

Формула косинуса разности двух углов ($\alpha$ и $\beta$) также выводится из соответствующей формулы для суммы. Заменяя $\beta$ на $-\beta$ в формуле косинуса суммы и используя свойства чётности/нечётности, получаем:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Косинус разности двух углов равен сумме произведения косинусов этих углов и произведения синусов этих углов. Обратите внимание на знак "плюс" в правой части, который противоположен знаку в аргументе косинуса.

Ответ: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$