Номер 9.21, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.2. Формулы для дополнительных углов - номер 9.21, страница 263.

Условие.

9.21 а) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}\right)$;

б) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$;

в) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)$;

г) $\sin\left(\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{2}\right)$;

д) $\sin\left(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2}\right)$;

е) $\sin\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для вычисления значения выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}) $ воспользуемся формулой приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $. В данном случае $ \alpha = \frac{2\pi}{3} $.
Получаем:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) $.
Значение косинуса для угла $ \frac{2\pi}{3} $ является табличным. Угол $ \frac{2\pi}{3} $ находится во второй четверти, где косинус отрицателен.
$ \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $

б) Для вычисления значения выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) $ воспользуемся формулой приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{3} $.
Получаем:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) $.
Значение $ \cos(\frac{\pi}{3}) $ является табличным и равно $ \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Для вычисления значения выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) $ воспользуемся формулой приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.
Получаем:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) $.
Значение $ \cos(\frac{\pi}{6}) $ является табличным и равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

г) Для упрощения выражения $ \sin(\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{2}) $ сначала вынесем минус за скобки внутри синуса, а затем воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ \sin(\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5})) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) $.
Теперь применим формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $, где $ \alpha = \frac{\pi}{5} $.
$ -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = -\cos(\frac{\pi}{5}) $.
Ответ: $ -\cos(\frac{\pi}{5}) $

д) Для упрощения выражения $ \sin(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2}) $ воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ \sin(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7})) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) $.
Далее применим формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $, где $ \alpha = \frac{\pi}{7} $.
$ -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = -\cos(\frac{\pi}{7}) $.
Ответ: $ -\cos(\frac{\pi}{7}) $

е) Для упрощения выражения $ \sin(\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2}) $ воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ \sin(\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8})) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) $.
Применим формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $, где $ \alpha = \frac{\pi}{8} $.
$ -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) = -\cos(\frac{\pi}{8}) $.
Ответ: $ -\cos(\frac{\pi}{8}) $