Номер 9.22, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.2. Формулы для дополнительных углов - номер 9.22, страница 263.

Условие.

9.22 a) $sin (90^\circ - 13^\circ);$

б) $sin (-90^\circ + 24^\circ);$

в) $sin (-90^\circ - 31^\circ);$

г) $cos (90^\circ - 25^\circ);$

д) $cos (-90^\circ + 17^\circ);$

е) $cos (-90^\circ - 22^\circ).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $\sin(90^\circ - 13^\circ)$ применяем формулы приведения. Это формула вида $\sin(90^\circ - \alpha)$, где $\alpha = 13^\circ$. Согласно правилу, если в аргументе присутствует угол $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$), функция меняется на кофункцию: синус на косинус. Далее определяем знак. Угол $90^\circ - 13^\circ = 77^\circ$ находится в первой координатной четверти, где синус положителен. Следовательно, итоговое выражение будет иметь знак «+». Таким образом, получаем: $\sin(90^\circ - 13^\circ) = \cos(13^\circ)$. Ответ: $\cos(13^\circ)$.

б) Для выражения $\sin(-90^\circ + 24^\circ)$ используем формулы приведения. Это формула вида $\sin(-90^\circ + \alpha)$, где $\alpha = 24^\circ$. Угол $-90^\circ$ (или $-\frac{\pi}{2}$) означает, что функция $\sin$ меняется на кофункцию $\cos$. Чтобы определить знак, посмотрим, в какой четверти находится угол $-90^\circ + 24^\circ = -66^\circ$. Этот угол расположен в четвертой четверти, где синус имеет отрицательное значение. Поэтому перед кофункцией ставится знак «-». В результате получаем: $\sin(-90^\circ + 24^\circ) = -\cos(24^\circ)$. Ответ: $-\cos(24^\circ)$.

в) Упростим $\sin(-90^\circ - 31^\circ)$ с помощью формул приведения. Это формула вида $\sin(-90^\circ - \alpha)$, где $\alpha = 31^\circ$. Наличие угла $-90^\circ$ указывает на замену функции $\sin$ на кофункцию $\cos$. Угол $-90^\circ - 31^\circ = -121^\circ$ находится в третьей четверти. В третьей четверти синус отрицателен, следовательно, перед кофункцией ставим знак «-». Получаем: $\sin(-90^\circ - 31^\circ) = -\cos(31^\circ)$. Ответ: $-\cos(31^\circ)$.

г) Для выражения $\cos(90^\circ - 25^\circ)$ применяем формулы приведения. Это формула вида $\cos(90^\circ - \alpha)$, где $\alpha = 25^\circ$. Наличие угла $90^\circ$ означает, что функция $\cos$ меняется на кофункцию $\sin$. Угол $90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$ лежит в первой четверти, где косинус положителен. Значит, знак итогового выражения будет «+». Таким образом, $\cos(90^\circ - 25^\circ) = \sin(25^\circ)$. Ответ: $\sin(25^\circ)$.

д) Для упрощения $\cos(-90^\circ + 17^\circ)$ используем формулы приведения. Это формула вида $\cos(-90^\circ + \alpha)$, где $\alpha = 17^\circ$. Угол $-90^\circ$ указывает на смену функции $\cos$ на кофункцию $\sin$. Угол $-90^\circ + 17^\circ = -73^\circ$ находится в четвертой четверти. В четвертой четверти косинус положителен, поэтому знак перед кофункцией будет «+». В итоге, $\cos(-90^\circ + 17^\circ) = \sin(17^\circ)$. Также можно воспользоваться свойством четности косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$, тогда $\cos(-90^\circ + 17^\circ) = \cos(-(90^\circ - 17^\circ)) = \cos(90^\circ - 17^\circ) = \sin(17^\circ)$. Ответ: $\sin(17^\circ)$.

е) Упростим $\cos(-90^\circ - 22^\circ)$ с помощью формул приведения. Это формула вида $\cos(-90^\circ - \alpha)$, где $\alpha = 22^\circ$. Наличие угла $-90^\circ$ означает, что функция $\cos$ меняется на кофункцию $\sin$. Угол $-90^\circ - 22^\circ = -112^\circ$ лежит в третьей четверти, где косинус отрицателен. Поэтому перед кофункцией ставится знак «-». Таким образом, $\cos(-90^\circ - 22^\circ) = -\sin(22^\circ)$. Альтернативный способ: используя четность косинуса, $\cos(-90^\circ - 22^\circ) = \cos(90^\circ + 22^\circ)$. Угол $90^\circ + 22^\circ = 112^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, а функция меняется на синус, поэтому $\cos(90^\circ + 22^\circ) = -\sin(22^\circ)$. Ответ: $-\sin(22^\circ)$.