Номер 9.19, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.2. Формулы для дополнительных углов - номер 9.19, страница 263.

Условие.

9.19 Докажите формулы:

a) $cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$;

б) $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для доказательства данной формулы используются формулы приведения или, более общо, формула косинуса суммы. Формула косинуса суммы двух углов выглядит следующим образом: $ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $.

Применим эту формулу для выражения $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) $. В данном случае, $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2}) \cdot \cos\alpha - \sin(\frac{\pi}{2}) \cdot \sin\alpha $.

Известны значения тригонометрических функций для угла $ \frac{\pi}{2} $:

$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $

$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

Подставим эти значения в наше выражение:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 0 \cdot \cos\alpha - 1 \cdot \sin\alpha = 0 - \sin\alpha = -\sin\alpha $.

Таким образом, формула $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $ доказана.

Ответ: Доказано, что $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $.

б) Для доказательства этой формулы воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

Применим эту формулу для выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) $, где $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2}) \cdot \cos\alpha + \cos(\frac{\pi}{2}) \cdot \sin\alpha $.

Используем те же значения тригонометрических функций для угла $ \frac{\pi}{2} $:

$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $

Подставим их в наше выражение:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 1 \cdot \cos\alpha + 0 \cdot \sin\alpha = \cos\alpha + 0 = \cos\alpha $.

Таким образом, формула $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $ доказана.

Ответ: Доказано, что $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $.