Номер 9.19, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.2. Формулы для дополнительных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.19, страница 263.

9.19 Докажите формулы:

a) $cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$;

б) $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha$.

а) Для доказательства данной формулы используются формулы приведения или, более общо, формула косинуса суммы. Формула косинуса суммы двух углов выглядит следующим образом: $ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $.

Применим эту формулу для выражения $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) $. В данном случае, $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2}) \cdot \cos\alpha - \sin(\frac{\pi}{2}) \cdot \sin\alpha $.

Известны значения тригонометрических функций для угла $ \frac{\pi}{2} $:

$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $

$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

Подставим эти значения в наше выражение:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 0 \cdot \cos\alpha - 1 \cdot \sin\alpha = 0 - \sin\alpha = -\sin\alpha $.

Таким образом, формула $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $ доказана.

Ответ: Доказано, что $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $.

б) Для доказательства этой формулы воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

Применим эту формулу для выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) $, где $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2}) \cdot \cos\alpha + \cos(\frac{\pi}{2}) \cdot \sin\alpha $.

Используем те же значения тригонометрических функций для угла $ \frac{\pi}{2} $:

$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $

Подставим их в наше выражение:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 1 \cdot \cos\alpha + 0 \cdot \sin\alpha = \cos\alpha + 0 = \cos\alpha $.

Таким образом, формула $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $ доказана.

Ответ: Доказано, что $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $.