Номер 9.12, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.12, страница 261.

Вычислите (9.12–9.13):

9.12

а) $ \cos 135^\circ $;

б) $ \cos 15^\circ $;

в) $ \cos 135^\circ $;

г) $ \cos 150^\circ $.

а) cos 135°

Для вычисления косинуса угла 135° можно использовать формулы приведения. Угол 135° находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Представим 135° как разность 180° и 45°:
$135° = 180° - 45°$
Применяем формулу приведения $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$:
$cos(135°) = cos(180° - 45°) = -cos(45°)$
Значение косинуса 45° является табличным: $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно:
$cos(135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) cos 15°

Для вычисления косинуса 15° представим этот угол в виде разности двух стандартных углов, например, 45° и 30°:
$15° = 45° - 30°$
Используем формулу косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.
Подставляем наши значения:
$cos(15°) = cos(45° - 30°) = cos(45°)cos(30°) + sin(45°)sin(30°)$
Теперь подставим табличные значения тригонометрических функций:
$cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$sin(30°) = \frac{1}{2}$
Выполняем вычисление:
$cos(15°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

в) cos 135°

Данный подпункт полностью совпадает с подпунктом а). Приведем решение еще раз, используя другой способ.
Угол 135° можно представить как $90° + 45°$. Используем другую формулу приведения: $cos(90° + \alpha) = -sin(\alpha)$.
$cos(135°) = cos(90° + 45°) = -sin(45°)$
Так как табличное значение $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$cos(135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

г) cos 150°

Для вычисления косинуса угла 150° воспользуемся формулами приведения. Угол 150° находится во второй четверти, где косинус имеет отрицательное значение. Представим 150° как разность 180° и 30°:
$150° = 180° - 30°$
Применяем формулу $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$:
$cos(150°) = cos(180° - 30°) = -cos(30°)$
Табличное значение $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом:
$cos(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$