Номер 9.9, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.9, страница 261.

9.9 Вычислите $ \cos(\alpha + \beta) $, если $ 90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ} $, $ 90^{\circ} < \beta < 180^{\circ} $ и $ \cos \alpha = -0,8 $, $ \sin \beta = 0,2 $.

Для того чтобы вычислить $cos(\alpha + \beta)$, мы воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы:

$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot sin \beta$

По условию нам даны $cos \alpha = -0,8$ и $sin \beta = 0,2$. Для полного решения нам необходимо найти значения $sin \alpha$ и $cos \beta$.

Нахождение $sin \alpha$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Выразим из него $sin \alpha$:

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$

Подставим известное значение $cos \alpha$:

$sin^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$

Отсюда $sin \alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$.

Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, что соответствует второй координатной четверти. В этой четверти значения синуса положительны, поэтому мы выбираем знак "+":

$sin \alpha = 0,6$

Нахождение $cos \beta$

Аналогично, используем основное тригонометрическое тождество для угла $\beta$: $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

Выразим $cos \beta$:

$cos^2\beta = 1 - sin^2\beta$

Подставим известное значение $sin \beta$:

$cos^2\beta = 1 - (0,2)^2 = 1 - 0,04 = 0,96$

Отсюда $cos \beta = \pm\sqrt{0,96}$.

Угол $\beta$ также находится во второй четверти ($90^\circ < \beta < 180^\circ$), где значения косинуса отрицательны. Поэтому мы выбираем знак "−":

$cos \beta = -\sqrt{0,96} = -\sqrt{\frac{96}{100}} = -\frac{\sqrt{16 \cdot 6}}{10} = -\frac{4\sqrt{6}}{10} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Вычисление $cos(\alpha + \beta)$

Теперь, когда у нас есть все четыре значения, подставим их в формулу косинуса суммы:

$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot sin \beta$

$cos(\alpha + \beta) = (-0,8) \cdot \left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) - (0,6) \cdot (0,2)$

Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $ -0,8 = -\frac{4}{5} $, $ 0,6 = \frac{3}{5} $, $ 0,2 = \frac{1}{5} $.

$cos(\alpha + \beta) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) - \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(\frac{1}{5}\right)$

Выполним умножение:

$cos(\alpha + \beta) = \frac{8\sqrt{6}}{25} - \frac{3}{25}$

Объединим дроби:

$cos(\alpha + \beta) = \frac{8\sqrt{6} - 3}{25}$

Ответ: $\frac{8\sqrt{6} - 3}{25}$