Номер 9.3, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов - номер 9.3, страница 260.

Условие.

9.3 a) $\cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8}$

б) $\sin 10^\circ \sin 70^\circ + \cos 70^\circ \cos 10^\circ$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для вычисления значения выражения $ \cos\frac{3\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{3\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} $ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов:

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $

В данном случае, пусть $ \alpha = \frac{3\pi}{8} $ и $ \beta = \frac{\pi}{8} $. Подставим эти значения в формулу:

$ \cos\frac{3\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{3\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} = \cos\left(\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8}\right) $

Выполним вычитание в аргументе косинуса:

$ \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $

Таким образом, выражение равно $ \cos\frac{\pi}{4} $.

Значение косинуса угла $ \frac{\pi}{4} $ является табличным:

$ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

б)

Рассмотрим выражение $ \sin10^\circ\sin70^\circ + \cos70^\circ\cos10^\circ $.

Переставим слагаемые для удобства, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы:

$ \cos70^\circ\cos10^\circ + \sin70^\circ\sin10^\circ $

Это выражение также соответствует формуле косинуса разности:

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $

Здесь $ \alpha = 70^\circ $ и $ \beta = 10^\circ $. Применим формулу:

$ \cos70^\circ\cos10^\circ + \sin70^\circ\sin10^\circ = \cos(70^\circ - 10^\circ) $

Вычислим разность углов:

$ 70^\circ - 10^\circ = 60^\circ $

Следовательно, искомое значение равно $ \cos60^\circ $.

Значение $ \cos60^\circ $ — это табличное значение:

$ \cos60^\circ = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $