Номер 9.2, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.2, страница 260.

Вычислите, не пользуясь таблицей или калькулятором (9.2–9.4):

9.2

а) $ \cos 15^\circ $;

б) $ \cos 75^\circ $;

в) $ \cos 105^\circ $.

а) Для вычисления $ \cos 15° $ необходимо представить угол $15°$ как сумму или разность стандартных углов, значения тригонометрических функций которых известны (например, $30°, 45°, 60°$). Представим $15°$ как $45° - 30°$.

Далее используем формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим в формулу $\alpha = 45°$ и $\beta = 30°$:

$ \cos 15° = \cos(45° - 30°) = \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30° $

Значения стандартных углов:
$ \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin 30° = \frac{1}{2} $

Подставляем эти значения в выражение:

$ \cos 15° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $

б) Для вычисления $ \cos 75° $ представим угол $75°$ как сумму $45° + 30°$.

Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим в формулу $\alpha = 45°$ и $\beta = 30°$:

$ \cos 75° = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° $

Подставляем известные значения:

$ \cos 75° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $

в) Для вычисления $ \cos 105° $ представим угол $105°$ как сумму $60° + 45°$.

Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим в формулу $\alpha = 60°$ и $\beta = 45°$:

$ \cos 105° = \cos(60° + 45°) = \cos 60° \cos 45° - \sin 60° \sin 45° $

Значения стандартных углов:
$ \cos 60° = \frac{1}{2} $
$ \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Подставляем эти значения в выражение:

$ \cos 105° = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $