Номер 8.49, страница 257 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.6*. Формулы для арктангенса и арккотангенса. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.49, страница 257.

8.49 Выразите через арктангенс положительного числа:

а) $\operatorname{arcctg}(-2);$

б) $\operatorname{arcctg}(-3);$

в) $\operatorname{arcctg}(2 - \pi);$

г) $\operatorname{arcctg}(9 - 3\pi);$

д) $\operatorname{arcctg}(-20);$

е) $\operatorname{arcctg}(-21\pi).$

Для решения всех пунктов этой задачи используется свойство нечетности функции арктангенс. Функция $y = \operatorname{arctg}(x)$ является нечетной, что означает, что для любого действительного числа $a$ выполняется равенство $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$. Если аргумент арктангенса отрицателен, мы можем вынести знак минус за пределы функции, и тогда аргументом станет положительное число.

а) В выражении $\operatorname{arctg}(-2)$ аргумент $-2$ является отрицательным числом. Используя свойство нечетности $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$, где $x=2$, получаем:$\operatorname{arctg}(-2) = -\operatorname{arctg}(2)$.Аргумент нового арктангенса, число $2$, является положительным.
Ответ: $-\operatorname{arctg}(2)$

б) В выражении $\operatorname{arctg}(-3)$ аргумент $-3$ также отрицателен. Применяя то же свойство нечетности для $x=3$, имеем:$\operatorname{arctg}(-3) = -\operatorname{arctg}(3)$.Аргумент $3$ является положительным числом.
Ответ: $-\operatorname{arctg}(3)$

в) Рассмотрим выражение $\operatorname{arctg}(2 - \pi)$. Вначале нужно определить знак аргумента $2 - \pi$. Так как число $\pi \approx 3.14159$, оно больше $2$, следовательно, разность $2 - \pi$ отрицательна. Применим свойство нечетности:$\operatorname{arctg}(2 - \pi) = -\operatorname{arctg}(-(2 - \pi)) = -\operatorname{arctg}(\pi - 2)$.Теперь аргумент $\pi - 2$ является положительным числом.
Ответ: $-\operatorname{arctg}(\pi - 2)$

г) Рассмотрим выражение $\operatorname{arctg}(9 - 3\pi)$. Определим знак аргумента $9 - 3\pi$. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $3\pi \approx 9.42477$. Таким образом, $3\pi > 9$, и разность $9 - 3\pi$ отрицательна. Используя свойство нечетности, получаем:$\operatorname{arctg}(9 - 3\pi) = -\operatorname{arctg}(-(9 - 3\pi)) = -\operatorname{arctg}(3\pi - 9)$.Аргумент $3\pi - 9$ является положительным.
Ответ: $-\operatorname{arctg}(3\pi - 9)$

д) В выражении $\operatorname{arctg}(-20)$ аргумент $-20$ является отрицательным. По свойству нечетности функции арктангенс:$\operatorname{arctg}(-20) = -\operatorname{arctg}(20)$.Аргумент $20$ — положительное число.
Ответ: $-\operatorname{arctg}(20)$

е) В выражении $\operatorname{arctg}(-21\pi)$ аргумент $-21\pi$ отрицателен, так как $\pi > 0$. Применяем свойство нечетности:$\operatorname{arctg}(-21\pi) = -\operatorname{arctg}(21\pi)$.Аргумент $21\pi$ является положительным числом.
Ответ: $-\operatorname{arctg}(21\pi)$